关于Toleft的一点思考

最近在看mooc上邓老师的《计算几何》教学视频链接，邓老师讲的很好。在学到如何判定一个点在三角形上时，邓老师的视频中给了一个行列式，老师提到行列式的正负号就可以判断一个点在直线的左边还是右边。但是没讲它是怎么来得，课下思考后才推出来了。

先看下面的图：
这里写图片描述
任给一个三角形，当你从某个顶点沿着三角形逆时针运动时，你会发现三角形内部的点始终在你的左手边。所以这就给了我们启示：如果能判断一个点在三条有向线段的左边，而且这三条有向线段构成一个三角形（首尾相接），那么这个点就在这个三角形内。

所以现在的问题是如何快速判断一个点在直线的左边还是右边。学过解析几何的同学都知道：利用两点的坐标就可以求出过2点的直线方程，而一条直线将平面分割成2个平面，如果我们指定这条直线的方向，那么就可以将要判定的点带入直线方程，看其符号：
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如图，当p点坐标带入方程大于0，我们便得知p点位于直线左侧了。
原理上可行但是我们要求直线的方程，这样会不会过于麻烦了呢？确实，事实上，我们有更好的办法：向量。我们可以利用向量的叉积，如图：
这里写图片描述
$我们知道\vec {AP}\times \overrightarrow {AB}=-\vec {AB}\times \overrightarrow {AP}，这是一个好性质，当p位于AB的两侧时\\，\vec {AB}\times \overrightarrow {AP}会异号，\vec {AP}\times \overrightarrow {AB}=\left| \vec {AP}\right| \left| \overrightarrow {AB}\right| \sin \theta,刚好也等于两个向量\\所构成的三角形面积的2倍。$
这里写图片描述
到这里我们的集合描述就差不多了。现在看一下代数性质。
假设有2个三维向量 $\overrightarrow {a}=\left( x_{1},y_{1},z_{1}\right),\overrightarrow {b}=\left( x_{2},y_{2},z_{2}\right)$
则叉积为：
$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=\left| \begin{matrix} i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_{2}& y_{2}& z_{2}\end{matrix} \right|$
当在平面上时，我们可以认为z分量为0，那么就有：

a \to \times b \to = ∣ ∣ ∣ ∣ i x 1 x 2 j y 1 y 2 k 00 ∣ ∣ ∣ ∣ = (x 1 y 2 - x 2 y 1) k

$\overrightarrow {a}\times \overrightarrow {b}=\left| \begin{matrix} i& j& k\\ x_1& y_1& 0\\ x_{2}& y_{2}& 0\end{matrix} \right|=(x_1y_2-x_2y_1)k$

这里的a→,b→分别代表的应该是AP−→−，AB−→−，一般情况下我们的原始数据应该是A、B、P三个点的坐标 $这里的\overrightarrow {a},\overrightarrow {b}分别代表的应该是\overrightarrow {AP}，\overrightarrow {AB}，一般情况下我们的原始数据应该是A、B、P三个点的坐标$
邓老师的课件上的公式却是一个3*3的行列式：
这里写图片描述

开始不明白这个怎么来得，后来才明白利用了行列式的技巧：

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p x q x s x p y q y s y 111 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ p x q x - p x s x - p x p y q y - p y s y - p y 100 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

$\left| \begin{matrix} p_x& p_y& 1\\ q_x& q_y& 1\\ s_x& s_y& 1\\\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} p_x& p_y& 1\\ q_x-p_x& q_y-p_y& 0\\ s_x-p_x& s_y-p_y& 0\\\end{matrix} \right|$

= ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 0 q x - p x s x - p x 0 q y - p y s y - p y 100 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = ∣ ∣ ∣ q x - p x s x - p x q y - p y s y - p y ∣ ∣ ∣

$=\left| \begin{matrix} 0& 0& 1\\ q_x-p_x& q_y-p_y& 0\\ s_x-p_x& s_y-p_y& 0\\\end{matrix} \right|=\left| \begin{matrix} q_x-p_x& q_y-p_y\\ s_x-p_x& s_y-p_y\\\end{matrix} \right|$
到这里就基本明白了。在实际编写程序的时候依然还是转化为代数：
这里写图片描述

参考文章：向量叉积和应用

关于Toleft的一点思考

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