JZOJ3449. 【NOIP2013模拟联考3】送礼物(gift) （bzoj2142: 礼物）（中国剩余定理）

题目描述

Description
节日到了，JIH决定给他的m个朋友们送礼物。他一共卖了n件礼物，不同的人对JIH来说重要性不同，对于第i个人，JIH会送wi件礼物给她。JIH想知道有多少种方法把礼物送出去，方案数mod p。

Input
第一行一个整数p

第二行两个整数n，m

第三行开始共m行，每行一个整数表示wi
Output
输出一行，包含一个整数，表示ans mod p的值（数据保证有解）

Sample Input
100

4 2

1

2

Sample Output
12

样例解释：

12种方案如下：

1/23 1/24 1/34

2/13 2/14 /2/34

3/12 3/14 3/24

4/12 4/13 4/23

Data Constraint
20%的数据n<=10,p为素数

70%的数据n<=10^5,p为素数

100%的数据n,p<=10^9,m<=5

设p=p1^c1*p2^c2*…*pt^ct,pi为质数，保证pi^ci<=10^5

话说自从被XC D了后好久没写题解了啊
辣鸡XC
—2018年6月26日

20%

暴力？
不会

70%

随便推一下式子发现
答案就是$\frac{n!}{(\prod_{i=1}^{m} {w_i})(n-\sum_{i=1}^{m} {w_i})}$

因为p是质数，所以可以用一些奇怪的方法快速算出阶乘的模，之后逆元求解
（至于怎么算这里不太好讲）
其实就当作写挂的100分吧

100%

因为p不是质数，所以不能逆元
但是可以把p拆成$pi^{ai}$，分别求出每个的值，然后用中国剩余定理合并
（这篇博客讲得不错所以就不写了其实还是懒）

但是拆开之后还不是质数，所以不能逆元

于是我们可以把原数拆成$x*p^{y}$ （p是当前的质数）
因为把p分离了出去，所以x和$p^a$互质，可以用欧拉定理求x的逆元
（因为$p^a$只有p一个质因子，所以$φ(p)=\frac{p^a(p-1)}{p}$）

y就直接相减，可以证出y≥0

---

所以问题变成了如何快速把n!拆成$x*p^y$的形式
当然可以暴力$O(n)$去拆，但是没什么卵用

比如19!%9 (3^2)，要把它拆成$x*3^y$的形式
$19 mod 9=(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19) mod 9$
首先把3的倍数提出来
$=(1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17*19)*(3*6*9*12*15*18)mod9$
把3提出来
$=(1*2*4*5*7*8*10*11*13*14*16*17*19)*3^6*(1*2*3*4*5*6)mod9$
然后可以发现，前面存在着长度为6 （9/3*2）的循环节
$=(1*2*4*5*7*8)^2*(19)*3^6*(1*2*3*4*5*6)mod9$
因为前面循环部分和剩余部分的长度不超$p^a$，所以直接暴力算
可以发现后面是6! （即n div p，19/3=6），递归求解

因为每次/p，所以递归次数是log级的
每次再暴力乘上模数，也就是再乘个10^5

时间复杂度：O(能过)

后记

话说这题也不难写啊。。。
只是把p^a当成了p*a而已