【BZOJ2142】礼物

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【思路要点】

• 当且仅当$\sum w_i>N$，答案为$Impossible$，否则，答案为$\frac{N!}{(\prod w_i!)*(N-\sum w_i)!}$。
• 我们本质上需要解决若干组合数取模的问题。
• 考虑对于所有$p_i^{c_i}$次方求出答案，然后用中国剩余定理合并。
• 组合数的本质实际上是求阶乘，我们可以先求出阶乘中所有非$p_i$的因子的乘积，由于存在逆元，这部分可以较为轻松地完成。
• 然后我们只要计算出分子和分母上$p_i$指数的差，将两部分相乘即可。
• 时间复杂度$O(M*Log^2N*Max\{p_i^{c_i}\})$。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int MAXN = 100005;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
  x = 0; int f = 1;
  char c = getchar();
  for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
  for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
  x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {
  if (x < 0) x = -x, putchar('-');
  if (x > 9) write(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {
  write(x);
  puts("");
}
int tot, p[MAXN], c[MAXN], a[MAXN];
void divide(int x) {
  tot = 0;
  int i = 2;
  while (i * i <= x) {
      if (x % i == 0) {
          p[++tot] = i; c[tot] = 0;
          while (x % i == 0) c[tot]++, x /= i;
      }
      i++;
  }
  if (x != 1) {
      p[++tot] = x;
      c[tot] = 1;
  }
}
void exgcd(int &x, int &y, int a, int b) {
  if (b == 0) {
      x = 1;
      y = 0;
      return;
  }
  int q = a / b, r = a % b;
  exgcd(y, x, b, r);
  y -= x * q;
}
int inv(int val, int p) { //Request : (val, p) = 1.
  int x = 0, y = 0;
  exgcd(x, y, val, p);
  return (0ll + x % p + p) % p;
}
int power(int x, long long y, int P) {
  if (y == 0) return 1;
  int tmp = power(x, y / 2, P);
  if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;
  else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
long long countp(int x, int p) {
  long long ans = 0;
  while (x >= p) {
      ans += x / p;
      x /= p;
  }
  return ans;
}
int fac(int x, int p, int P) {
  int ans = 1;
  for (int i = 1; i <= x; i++)
      if (i % p != 0) ans = 1ll * ans * i % P;
  return ans;
}
int reminder(int P, int p, int x) {
  int ans = 1, tmp = 1;
  for (int i = 1; i <= P; i++)
      if (i % p != 0) tmp = 1ll * tmp * i % P;
  while (x >= 1) {
      int q = x / P, r = x % P;
      ans = 1ll * ans * power(tmp, q, P) % P * fac(r, p, P) % P;
      x = x / p;
  }
  return ans;
}
int single(int p, int c, int x, int y) {
  long long cnt = countp(x, p) - countp(y, p) - countp(x - y, p);
  int P = power(p, c, 2e9), ans = reminder(P, p, x);
  int valx = reminder(P, p, y), valy = reminder(P, p, x - y);
  return ans = 1ll * ans * inv(valx, P) % P * inv(valy, P) % P * power(p, cnt, P) % P;
}
int solve(int P, int x, int y) {
  divide(P);
  if (tot == 1) return single(p[1], c[1], x, y);
  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= tot; i++) {
      a[i] = single(p[i], c[i], x, y);
      int tmp = P / (power(p[i], c[i], P));
      ans = (ans + 1ll * a[i] * tmp % P * inv(tmp, power(p[i], c[i], P))) % P;
  }
  return ans;
}
int main() {
  int P, n, m, ans = 1;
  read(P), read(n), read(m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
      int x; read(x);
      if (x > n) {
          printf("Impossible\n");
          return 0;
      }
      ans = 1ll * ans * solve(P, n, x) % P;
      n -= x;
  }
  writeln(ans);
  return 0;
}