算法提高合并石子 (GarsiaWachs算法)

对于石子合并问题，有一个最好的算法，那就是GarsiaWachs算法。时间复杂度为O(n^2)。

具体的算法及证明可以参见《The Art of ComputerProgramming》第3卷6.2.2节Algorithm G和Lemma W,Lemma X,Lemma Y,LemmaZ。

它的步骤如下：

设序列是stone[]，从左往右，找一个满足stone[k-1] <= stone[k+1]的k，找到后合并stone[k]和stone[k-1]，再从当前位置开始向左找最大的j，使其满足stone[j] > stone[k]+stone[k-1]，插到j的后面就行。一直重复，直到只剩下一堆石子就可以了。在这个过程中，可以假设stone[-1]和stone[n]是正无穷的。

举个例子：

186 64 35 32 103

因为35<103，所以最小的k是3，我们先把35和32删除，得到他们的和67，并向前寻找一个第一个超过67的数，把67插入到他后面，得到：186 67 64 103,现在由5个数变为4个数了，继续：186 131 103，现在k=2（别忘了，设A[-1]和A[n]等于正无穷大）234 186，最后得到420。最后的答案呢？就是各次合并的重量之和，即420+234+131+67=852。

基本思想是通过树的最优性得到一个节点间深度的约束，之后证明操作一次之后的解可以和原来的解一一对应，并保证节点移动之后他所在的深度不会改变。具体实现这个算法需要一点技巧，精髓在于不停快速寻找最小的k，即维护一个“2-递减序列”朴素的实现的时间复杂度是O(n*n)，但可以用一个平衡树来优化，使得最终复杂度为O(nlogn)。

//以上摘抄自https://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/18043897

//http://blog.sina.com.cn/s/blog_a825ada90101no1m.html

//以下为AC代码

#include <iostream>
#include<algorithm>
#include<vector> 
#include<fstream>
#include<iomanip>
#include<map>
#include<sstream>
#include<cmath> 
#include<stack>
#include<list>
# define inf 9999999
using namespace std;
int sum = 0;
//输出vector，只是辅助性函数，和核心算法无关 
ostream& operator<<(ostream&out,vector<int>v){
	out<<"[";
	for(int i=0;i<v.size();i++){
		out<<v[i]<<",";
	}
	out<<"]"<<endl;
}

//核心算法 
void stoneMerge(vector<int>&stone){
//cout<<lis<<endl;
	if(stone.size()==3){//此时只剩一堆即可输出，剩下两堆为正无穷 
		cout<<sum;
		return;
	}
	int sumK = 0;//记录两堆合并需要的代价 
	int k=0;//寻找符合stone[K-1]<=stone[K+1]的K 
	for(int i=0;i<stone.size()-2;i++){//因为最后一堆是正无穷，所以i最大到最后一堆（正无穷）的前两堆就会符合上述要求 ，所以除非只有一个石头堆不然不会超界 
		if(stone[i]<=stone[i+2]){
			k=i;
			sumK = stone[i]+stone[i+1];
			stone.erase(stone.begin()+i,stone.begin()+i+2);//这两堆合并后就可以删除了，一般来说可以考虑list结构，删除和插入效率比较高 
			sum+=sumK;
			break;
		}
	} 
	//以上步骤就是找K，然后合并的过程
	
	//以下步骤为找符合标准的j，stone[j]>sumK，然后把合并的石头堆插入其后 
	int index=0;//记录要插入的位置 
	for(int i=k-1;i>=0;i--){//从合并后的位置往前找 
		if(stone[i]>sumK){//最前会找到前面的正无穷，使用index总是存在的，最前为0 
		index=i;	
		break;
		}
	}
    stone.insert(stone.begin()+index+1,sumK);//插在找到的元素后面 
	stoneMerge(stone);//一轮轮找完后，继续同步骤 
}
int main(){
int n;
cin>>n;
vector<int>stone;
stone.push_back(inf);//前面插一个正无穷 
for(int i=0;i<n;i++){
	int a;
	cin>>a;
	stone.push_back(a);
}
stone.push_back(inf);//后面插一个正无穷 
//构造stone序列 

stoneMerge(stone);
    return 0;
}

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