机器学习笔记：朴素贝叶斯方法（Naive Bayes）原理和实现

本文主要描述了朴素贝叶斯分类方法，包括模型导出和学习描述。实例部分总结了《machine learning in action》一书中展示的一个该方法用于句子感情色彩分类的程序。1

方法概述
学习（参数估计）
实现：朴素贝叶斯下的文本分类

模型概述

朴素贝叶斯方法，是指: 朴素：特征条件独立; 贝叶斯：基于贝叶斯定理

根据贝叶斯定理，对一个分类问题，给定样本特征x，样本属于类别y的概率是

p (y | x) = p ( x | y ) p ( y ) p ( x ) 。 。 。 。 。 。 （ 1 ）

在这里，x是一个特征向量，将设x维度为M。因为朴素的假设，即特征条件独立，根据全概率公式展开，公式（1）可以表达为

p (y = c k | x) = \prod M i = 1 p ( x i | y = c k ) p ( y = c k ) \sum k p ( y = c k ) \prod M i = 1 P ( x i | y = c k ) 。 。 。 。 （ 2 ）

这里，只要分别估计出，特征 xixi 在每一类的条件概率就可以了。类别y的先验概率可以通过训练集算出，同样通过训练集上的统计，可以得出对应每一类上的，条件独立的特征对应的条件概率向量。
如何统计，就是下一部分——学习——所关心的内容。

学习（参数估计）

下面介绍如何从数据中，学习得到朴素贝叶斯分类模型。概述分类方法，并提出一个值得注意的问题。

学习

训练集TrainingSet= {(x1,y1),(x2,y2),...,(xN,yN)} 包含N条训练数据，其中 xi=(x(1)i,x(2)i,...,x(M)i)T是M维向量， yi∈{c1,c2,...cK}属于K类中的一类。: 学习 1.首先，我们来计算公式（2）中的p(y=ck)
$p (y = c k) = \sum N i = 1 I （ y i = c k ） N 。。。。（ 3 ）$
其中 I(x)为指示函数，若括号内成立，则计1，否则为0。; 学习 2.接下来计算分子中的条件概率，设M维特征的第j维有L个取值，则某维特征的某个取值ajl，在给定某分类ck下的条件概率为：
$p (x j = a j l | y = c k) = \sum N i = 1 I ( x j i = a j l , y i = c k ) \sum N i = 1 I ( y i = c k ) 。。。（ 4 ）$

经过上述步骤，我们就得到了模型的基本概率，也就完成了学习的任务。

拉普拉斯平滑

到这里好像方法已经介绍完了，实则有一个小问题需要注意，在公式（3）（4）中，如果从样本中算出的概率值为0该怎么办呢？
下面介绍一种简单方法，给学习步骤中的两个概率计算公式，分子和分母都分别加上一个常数，就可以避免这个问题。更新过后的公式如下：: $p (y = c k) = \sum N i = 1 I （ y i = c k ） + λ N + K λ 。。。。（ 7 ）$
K是类的个数
$p (x j = a j l | y = c k) = \sum N i = 1 I ( x j i = a j l , y i = c k ) + λ \sum N i = 1 I ( y i = c k ) + L j λ 。。。（ 8 ）$
Lj是第 j维特征的最大取值

可以证明，改进以后的（7）（8）仍然是概率。平滑因子λ=0即为（3）（4）实现的最大似然估计，这时会出现在本节开始时提到的0概率问题；而λ=1则避免了0概率问题，这种方法被称为拉普拉斯平滑。

实现：朴素贝叶斯下的文本分类

根据上面的算法流程，在这里实现一个句子极性划分的例子。所谓句子极性是指，句子所表达的情感色彩，例如积极/消极，这里（书里）使用的是侮辱性/非侮辱性。其实是什么类别不重要，只要给定有标签的训练数据，就可以得到分类模型。
下面简述实现思想和流程，给出代码。

算法思想和流程

给定的训练集是标定了侮辱性/非侮辱性的句子（因为是英语句子，所以基本视分词为已经解决的问题，如果是汉语，则要先进行分词），我们认为特征就是句子中的单个词语。单个词语有极性表征，整个句子所包含的单词的极性表征就是句子的极性。
由以上的基础，应用朴素贝叶斯分类，就变成了这样的问题: 初始化步，构建可以表征句子的特征向量（词汇表）。并根据这个特征向量，把训练集表征出来。从训练集中分离部分数据作为测试集。; 学习步，计算类的先验概率和特征向量对应每一类的条件概率向量; 分类步, 计算测试集中待分类句子在每一类的分类后验概率，取最大值作为其分类，并与给定标签比较，得到误分类率。

代码

初始化：

def loadDataSet():#数据格式
    postingList=[['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problems', 'help', 'please'],
                 ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
                 ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
                 ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
                 ['mr', 'licks', 'ate', 'my', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
                 ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']]
    classVec = [0,1,0,1,0,1]#1 侮辱性文字 ， 0 代表正常言论
    return postingList,classVec

def createVocabList(dataSet):#创建词汇表
    vocabSet = set([])
    for document in dataSet:
        vocabSet = vocabSet | set(document) #创建并集
    return list(vocabSet)

def bagOfWord2VecMN(vocabList,inputSet):#根据词汇表，讲句子转化为向量
    returnVec = [0]*len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] += 1
    return returnVec

训练：

def trainNB0(trainMatrix,trainCategory):
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    numWords = len(trainMatrix[0])
    pAbusive = sum(trainCategory)/float(numTrainDocs)
    p0Num = ones(numWords);p1Num = ones(numWords)#计算频数初始化为1
    p0Denom = 2.0;p1Denom = 2.0                  #即拉普拉斯平滑
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i]==1:
            p1Num += trainMatrix[i]
            p1Denom += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Denom += sum(trainMatrix[i])
    p1Vect = log(p1Num/p1Denom)#注意
    p0Vect = log(p0Num/p0Denom)#注意
    return p0Vect,p1Vect,pAbusive#返回各类对应特征的条件概率向量
                                 #和各类的先验概率

分类：

def classifyNB(vec2Classify,p0Vec,p1Vec,pClass1):
    p1 = sum(vec2Classify * p1Vec) + log(pClass1)#注意
    p0 = sum(vec2Classify * p0Vec) + log(1-pClass1)#注意
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

def testingNB():#流程展示
    listOPosts,listClasses = loadDataSet()#加载数据
    myVocabList = createVocabList(listOPosts)#建立词汇表
    trainMat = []
    for postinDoc in listOPosts:
        trainMat.append(bagOfWord2VecMN(myVocabList,postinDoc))
    p0V,p1V,pAb = trainNB0(trainMat,listClasses)#训练
    #测试
    testEntry = ['love','my','dalmation']
    thisDoc = bagOfWord2VecMN(myVocabList,testEntry)
    print testEntry,'classified as: ',classifyNB(thisDoc,p0V,p1V,pAb)

注意：上述代码中标有注意的地方，是公式中概率连乘变成了对数概率相加。此举可以在数学上证明不会影响分类结果，且在实际计算中，避免了因概率因子远小于1而连乘造成的下溢出。

参考：
李航. (2012). 统计学习方法.
Harrington, P. (2013). 机器学习实战. 人民邮电出版社, 北京 ↩