贝叶斯定理
首先我们来了解一下贝叶斯定理：
贝叶斯定理是用来做什么的？简单说，概率预测：某个条件下，一件事发生的概率是多大？
了解一下公式
事件B发生的条件下，事件A发生的概率为：
这里写图片描述
同理可得，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为：
很容易推导得到：
假设若P(A)≠0，那么就可以得到用来预测概率的贝叶斯定理了：
这个定理显然是可以推导到多个条件的，比如在2个条件的情况下：
朴素贝叶斯定义：
我们之所以称之为朴素，是因为我们做了一个简单的假设，即类中特定特征的存在与任何其他特征的存在无关，这意味着每个特征彼此独立。
通过以上定理和“朴素”的假定，我们知道：
P( Category | Document) = P ( Document | Category ) * P( Category) / P(Document)
经典案例
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信某宗教的人是恐怖分子的概率是多少？
假设 100% 的恐怖分子都相信某宗教，而某人相信某宗教，并不代表此人 100% 是恐怖分子，还需要考虑先验概率，假设全球有 7万 恐怖分子（全球人口 70亿 ），假设全球有 1/3 的人口相信某宗教，那么这个人是恐怖分子的概率是多少？
解：
我们要求解的是这个概率： P（恐怖分子|信某教）
套用公式，得到 ：P（恐怖分子|信某教） = P（信某教|恐怖分子） P（恐怖分子） / P（信某教） = 100% * （7万人/70亿人） / （1/3） = 0.003%也即十万分之三的概率。
延展开去，从数学理论上讲，民主党不针对某个信教人群是对的，但是题目中设定 100% 的恐怖分子信某教，这个假设就比较… -
检测呈阳性的雇员吸毒概率是多少？
假设一个常规的检测结果的敏感度与可靠度均为 99% ，即吸毒者每次检测呈阳性 （+） 的概率为 99% 。而不吸毒者每次检测呈阴性 （-） 的概率为 99% 。假设某公司对全体雇员进行吸毒检测，已知 0.5% 的雇员吸毒。请问每位检测结果呈阳性的雇员吸毒的概率有多高？
解：
我们要求解的是这个概率： P（吸毒|检测呈阳性的雇员）
套用公式，得到 ：P（吸毒|检测呈阳性雇员） = P（检测呈阳性雇员|吸毒） P（吸毒） / P（检测呈阳性雇员） = 99% * 0.5% / [P（检测呈阳性雇员∩吸毒） + P（检测呈阳性∩不吸毒）] = 99% * 0.5% / [P（检测呈阳性雇员|吸毒） * P（吸毒） + P（检测呈阳性|不吸毒） * P（不吸毒）] = 99% * 0.5% / [99% * 0.5% + 1% * 99.5%] = 0.3322也就是说，尽管吸毒检测的准确率高达 99% ，但贝叶斯定理告诉我们：如果某人检测呈阳性，其吸毒的概率只有大约 33% ，不吸毒的可能性比较大。
不过也要注意，检测的准确率高低，十分影响结果的概率，如果检测精度达到 99.9% ，那么检测呈阳性的雇员吸毒的概率就上升到了 83.39% 。 -
垃圾邮件的过滤
这是 Paul Graham 在 《黑客与画家》 中提到的办法。这个问题其实可以倒推，我们要求解的是这个概率： P（垃圾邮件|检测到某种特征） 。
这个某种特征可以是 关键词，可以是 时间，可以是 频次，可以是 邮件附件类型 …包括以上各种特征 混合 的特征等等。
我们先用最简单的 关键词 来做推测，根据我个人的经验，一个中国式垃圾邮件很可能会包含两个字：发票 。好，那么我们要求解的一封邮件是不是垃圾邮件的概率就变成 P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词），根据贝叶斯定理P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词） = P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（检测到“发票”关键词）好，这里遇到了一个问题，我们怎么知道垃圾邮件里出现 发票 关键词的概率？
怎么知道在所有邮件里出现 发票 关键词的概率？理论上，除非我们统计所有邮件，否则我们是得不出的。这时候，就得做个妥协，在工程上做个近似，我们自己找到一定数量的真实邮件，并分为两组，一组正常邮件，一组垃圾邮件，然后进行计算，看 发票 这个词，在垃圾邮件中出现的概率是多少，在正常邮件里出现的概率是多少。
显然，这里的训练数量大一些的话，计算得到的概率会更逼近真实值。 Paul Graham 使用的邮件规模，是正常邮件和垃圾邮件各 4000封 。如果某个词只出现在垃圾邮件中， Paul Graham 就假定，它在正常邮件的出现频率是 1% ，反之亦然，这样做是为了避免概率为 0 。随着邮件数量的增加，计算结果会自动调整。
这样的话，将公式继续分解为如下：P（垃圾邮件|检测到“发票”关键词） = P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（检测到“发票”关键词） = P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / [P（检测到“发票”关键词∩垃圾邮件） + P（检测到“发票”关键词∩正常邮件）] = P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / [P（检测到“发票”关键词|垃圾邮件） / P（垃圾邮件） + P（检测到“发票”关键词|正常邮件） / P（正常邮件）]就又可以根据训练模型得到的概率，进行初始值计算了。此后，可以通过大量用户将垃圾邮件标注为正常邮件，正常邮件挪到垃圾邮件的动作，进行反复训练纠正，直至逼近一个合理值了。
不过这里还涉及到一个问题，就是单个关键词的概率（单个条件）无论如何再高，这封邮件仍然有可能不是垃圾邮件，所以在此处应用贝叶斯定理时，我们显然要用到多个条件，也就是计算这个概率：
P（垃圾邮件|检测到“A”关键词，检测到“B”关键词，检测到"C"，…）
Paul Graham 的做法是，选出邮件中 P（垃圾邮件|检测到“X”关键词） 最高的 15个词 ，计算它们的联合概率。（如果关键词是第一次出现，Paul Graham 就假定这个值等于 0.4 ，也即认为是negative normal）。
朴素贝叶斯分类方法
朴素贝叶斯法是基于贝叶斯定理与特征条件独立假设的分类方法 。最为广泛的两种分类模型是决策树模型(Decision Tree Model)和朴素贝叶斯模型（Naive Bayesian Model，NBM）
和决策树模型相比，朴素贝叶斯分类器(Naive Bayes Classifier,或 NBC)发源于古典数学理论，有着坚实的数学基础，以及稳定的分类效率。同时，NBC模型所需估计的参数很少，对缺失数据不太敏感，算法也比较简单。理论上，NBC模型与其他分类方法相比具有最小的误差率。但是实际上并非总是如此，这是因为NBC模型假设属性之间相互独立，这个假设在实际应用中往往是不成立的，这给NBC模型的正确分类带来了一定影响。
验证每一个类别中，样本特征的分布情况；根据新样本中特征的分布情况预测属于每一个类别的概率，输出概率最大的类别，我们就认为该样本属于这个类别
案例：
假设有一个数据集，由两类组成（简化问题），对于每个样本的分类，我们都已经知晓。数据分布如下图（图取自MLiA）：
现在出现一个新的点new_point (x,y)，其分类未知。我们可以用p1(x,y)表示数据点(x,y)属于红色一类的概率，同时也可以用p2(x,y)表示数据点(x,y)属于蓝色一类的概率。那要把new_point归在红、蓝哪一类呢？
我们提出这样的规则：
如果p1(x,y) > p2(x,y)，则(x,y)为红色一类。
如果p1(x,y) <p2(x,y), 则(x,y)为蓝色一类。
换人类的语言来描述这一规则：选择概率高的一类作为新点的分类。这就是贝叶斯决策理论的核心思想，即选择具有最高概率的决策。
用条件概率的方式定义这一贝叶斯分类准则：
如果p(red|x,y) > p(blue|x,y), 则(x,y)属于红色一类。
如果p(red|x,y) < p(blue|x,y), 则(x,y)属于蓝色一类。
也就是说，在出现一个需要分类的新点时，我们只需要计算这个点的
max(p(c1 | x,y),p(c2 | x,y),p(c3 | x,y)…p(cn| x,y))。其对于的最大概率标签，就是这个新点的分类啦。
那么问题来了，对于分类i 如何求解p(ci| x,y)？
没错，就是贝叶斯公式：
概率基础
概率(Probability)定义
- 概率定义为一件事情发生的可能性
- 扔出一个硬币，结果头像朝上
- P(X) : 取值在[0, 1]
女神是否喜欢计算案例
在讲这两个概率之前我们通过一个例子，来计算一些结果：
计算结果为：
P(喜欢) = 4/7
P(程序员, 匀称) = 1/7
P(程序员|喜欢) = 2/4 = 1/2
P(程序员, 超重|喜欢) = 1/4
思考题：在小明是产品经理并且体重超重的情况下，如何计算小明被女神喜欢的概率？
即P(喜欢|产品, 超重) = ？
联合概率、条件概率与相互独立
- 联合概率：包含多个条件，且所有条件同时成立的概率
- 记作：P(A,B)
- 条件概率：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率
- 记作：P(A|B)
- 相互独立：如果P(A, B) = P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立。
如果职业和体型是相互独立的，p（职业，体型）=p（职业）* p（体型）
贝叶斯公式
公式
简单推理：
计算案例
那么思考题就可以套用贝叶斯公式这样来解决：
P(喜欢|产品, 超重) = P(产品, 超重|喜欢)P(喜欢)/P(产品, 超重)
上式中，P(产品, 超重|喜欢)和P(产品, 超重)的结果均为0，导致无法计算结果。这是因为我们的样本量太少了，不具有代表性，本来现实生活中，肯定是存在职业是产品经理并且体重超重的人的，P(产品, 超重)不可能为0；而且事件“职业是产品经理”和事件“体重超重”通常被认为是相互独立的事件，但是，根据我们有限的7个样本计算“P(产品, 超重) = P(产品)P(超重)”不成立。
而朴素贝叶斯可以帮助我们解决这个问题。
朴素贝叶斯，简单理解，就是假定了特征与特征之间相互独立的贝叶斯公式。
也就是说，朴素贝叶斯，之所以朴素，就在于假定了特征与特征相互独立。
所以，思考题如果按照朴素贝叶斯的思路来解决，就可以是
P(产品, 超重) = P(产品) * P(超重) = 2/7 * 3/7 = 6/49
p(产品, 超重|喜欢) = P(产品|喜欢) * P(超重|喜欢) = 1/2 * 1/4 = 1/8
P(喜欢|产品, 超重) = P(产品, 超重|喜欢)P(喜欢)/P(产品, 超重) = 1/8 * 4/7 / 6/49 = 7/12
那么这个公式如果应用在文章分类的场景当中，我们可以这样看：
公式分为三个部分：
- P©：每个文档类别的概率(某文档类别数／总文档数量)
- P(W│C)：给定类别下特征（被预测文档中出现的词）的概率
- 计算方法：P(F1│C)=Ni/N （训练文档中去计算）
- Ni为该F1词在C类别所有文档中出现的次数
- N为所属类别C下的文档所有词出现的次数和
- 计算方法：P(F1│C)=Ni/N （训练文档中去计算）
- P(F1,F2,…) 预测文档中每个词的概率
如果计算两个类别概率比较：所以我们只要比较前面的大小就可以，得出谁的概率大
文章分类计算
- 计算结果
P(C|Chinese, Chinese, Chinese, Tokyo, Japan) --> P(Chinese, Chinese, Chinese, Tokyo, Japan|C) * P(C) = P(Chinese|C)^3 * P(Tokyo|C) * P(Japan|C) * P(C)
P(Chinese|C) = 5/8
P(Tokyo|C) = 0
P(Japan|C) = 0
API
在scikit-learn中，一共有3个朴素贝叶斯的分类算法类。分别是GaussianNB，MultinomialNB和BernoulliNB。其中GaussianNB就是先验为高斯分布的朴素贝叶斯，MultinomialNB就是先验为多项式分布的朴素贝叶斯，而BernoulliNB就是先验为伯努利分布的朴素贝叶斯。
这里我们使用MultinomialNB就是先验为多项式分布的朴素贝叶斯
- sklearn.naive_bayes.MultinomialNB(alpha = 1.0)
- 朴素贝叶斯分类
- alpha：拉普拉斯平滑系数
案例：20类新闻分类
步骤分析
- 进行数据集的分割
- TFIDF进行的特征抽取
- 将文章字符串进行单词抽取
- 朴素贝叶斯预测
代码
- 进行数据集的分割
import sklearn.datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split #数据集切分
from sklearn.feature_extraction.text import TfidfVectorizer #文本转换器
from sklearn.naive_bayes import MultinomialNB #朴素贝叶斯算法
# 获取新闻的数据，20个类别
news = sklearn.datasets.fetch_20newsgroups(data_home=None,subset='train')
# 进行数据集分割
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(news.data, news.target, test_size=0.3)
- TFIDF进行的特征抽取
- 将文章字符串进行单词抽取
# 对于文本数据，进行特征抽取
tf = TfidfVectorizer()
x_train = tf.fit_transform(x_train)
# 这里打印出来的列表是：训练集当中的所有不同词的组成的一个列表
print(tf.get_feature_names())
# 不能调用fit_transform
x_test = tf.transform(x_test)
- 朴素贝叶斯预测
# estimator估计器流程
mlb = MultinomialNB(alpha=1.0)
mlb.fit(x_train, y_train)
# 进行预测
y_predict = mlb.predict(x_test)
print("预测每篇文章的类别：", y_predict[:100])
print("真实类别为：", y_test[:100])
print("预测准确率为：", mlb.score(x_test, y_test))
朴素贝叶斯算法总结
- 优点：
- 朴素贝叶斯模型发源于古典数学理论，有稳定的分类效率。
- 对缺失数据不太敏感，算法也比较简单，常用于文本分类。
- 分类准确度高，速度快
- 缺点：
- 由于使用了样本属性独立性的假设，所以如果特征属性有关联时其效果不好