数值微分C++实现

问题描述

取h=0.1时用Euler法，改进Euler法，Rung-Kutta方法求其数值解并与精确解进行比较。

输入：求解区间，初值，数值解个数

输出：数值解

基本公式

改进欧拉公式：

四阶龙格—库塔方法：

流程图

改进的欧拉方程：四阶龙格—库塔方法：

算法实现

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <iomanip>

using namespace std;

//定义系数C
double C;
//保存生成的节点横坐标
double dataX[100];
//保存生成的节点准确的纵坐标
double dataY[100];
//保存Euler的解
double dataE[100];
//保存改进Euler的解
double dataIE[100];
//保存Rung-Kutta方法求其数值解
double dataRK[100];
//定义原函数
double function(double x,double y);
//定义导函数
double derivative(double x);
//分割区间
void devide(double a,double b,int N,double y);
//定义用欧拉方法求解的函数
void Euler(double a,double b,double n);
//定义用改进欧拉方法求解的函数
void improveEuler(double a,double b,double n);
//定义四阶龙格-库塔方法求解的函数
void RungKutta(double a,double b,double n);
//打印表格
void printTable(double n);

int main()
{
    //定义左右区间端点
    double a ,b;
    //定义初值
    double y;
    //定义数值解的个数
    int n;
    cout<<"请输入求解区间:";
    cin>>a>>b;
    cout<<"请输入初值：";
    cin>>y;
    cout<<"请输入求解个数：";
    cin>>n;
    //算出原函数的系数C
    C = (pow(y,2) - 2*a - 1)/(pow(M_E,2*a));
    devide(a,b,n,y);
    Euler(a,b,n);
    improveEuler(a,b,n);
    RungKutta(a,b,n);
    printTable(n);
    return 0;
}
//定义原函数
double function(double x)
{
    return sqrt(C*pow(M_E,2*x) + 2*x + 1);
}
//定义导函数
double derivative(double x,double y)
{
    return y - 2*x/y;
}

//分割区间
void devide(double a,double b,int N,double y)
{
    double x = a;
    double dX = (b - a) /(N) ;
    //x=0时，特殊处理
    dataX[0] = x;
    dataY[0] = y;
    for(int i=1;i<=N;i++)
    {
        x = a + i * dX;
        dataX[i] = x;
        dataY[i] = function(x);
    }
}
//定义用欧拉方法求解的函数
void Euler(double a,double b,double n)
{
    dataE[0] = dataY[0];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        double value = dataE[i] + ((b-a)/n)*derivative(dataX[i],dataE[i]);
        dataE[i+1] = value;
    }
}
//定义用改进欧拉方法求解的函数
void improveEuler(double a,double b,double n)
{
    dataIE[0] = dataY[0];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        //计算向前差商
        double Yp = dataIE[i] + ((b-a)/n)*derivative(dataX[i],dataIE[i]);
        //计算向后差商
        double Yc = dataIE[i] + ((b-a)/n)*derivative(dataX[i+1],Yp);
        dataIE[i+1] = 0.5 * (Yp + Yc);
    }
}
//定义四阶龙格-库塔方法求解的函数
void RungKutta(double a,double b,double n)
{
    dataRK[0] = dataY[0];
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        double K1 = derivative(dataX[i],dataRK[i]);
        double middleX = (dataX[i] + dataX[i+1]) * 0.5;
        double K2 = derivative(middleX,dataRK[i]+ 0.5 * ((b - a)/n) * K1);
        double K3 = derivative(middleX,dataRK[i]+ 0.5 * ((b - a)/n) * K2);
        double K4 = derivative(dataX[i+1],dataRK[i] + ((b - a)/n) * K3);
        dataRK[i+1] = dataRK[i] + (1.0/6) * ((b - a)/n) * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4);
    }
}
//打印表格
void printTable(double n)
{
    cout<<"------------------------------------------------------------------"<<endl;
    cout<<"x        "<<"y(4阶龙格) "<<"y(改进)  "<<"y(欧拉)  "<<"y(精确)    "<<endl;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cout<<setiosflags(ios::fixed);
        cout<<setprecision(6)<<dataX[i]<<" "<<dataRK[i]<<" "<<dataIE[i]<<" "<<dataE[i]<<" "<<dataY[i]<<endl;
    }
}

运行截图

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