实验目的：
用Matlab实现LU分解和列主元消去法求解线性方程组
实验要求：
1. 给出LU分解算法和列主元消去法算法
2. 用Matlab实现LU分解
3. 用Matlab实现列主元消去法
实验内容：
用LU分解及列主元消去法解线性方程组
输出 Ax=b 中系数 A=LU分解的矩阵L及U，解向量x及detA；列主元法的行交换次序，解向量x及detA；比较两种方法所得的结果。
实验步骤：
代码：
1 %LU分解算法 2 %输入：矩阵A和向量b 3 %输出：det和自变量的值 4 function [det,x,y,l,u]=LU(A,b) 5 [m,n]=size(A); 6 %输入的A与b的行数与列数的限制 7 if m~=n 8 disp('输入错误，系数矩证阵只能是方阵'); 9 end 10 if n~=length (b) 11 disp('输入错误，常数项的个数应与方程的个数相同'); 12 end 13 for k=1:n-1%主行循环 14 for i=k+1:n 15 A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); 16 for j=k+1:n 17 A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); 18 end 19 end 20 end 21 l=eye(n); 22 u=zeros(n,n); 23 for i=1:n 24 for j=1:n 25 if j<i 26 l(i,j)=A(i,j); 27 else 28 u(i,j)=A(i,j); 29 end 30 end 31 end 32 33 y(1)=b(1); 34 for k=2:n 35 s=0; 36 for j=1:k-1 37 s=s+l(k,j)*y(j); 38 end 39 y(k)=b(k)-s; 40 end 41 x(n)=y(n)/u(n,n); 42 for k=n-1:-1:1 43 s=0; 44 for j=k+1:n 45 s=s+u(k,j)*x(j); 46 end 47 x(k)=(y(k)-s)/u(k,k); 48 end 49 det=1; 50 for i=1:n 51 det=det*u(i,i); 52 end 53 end
求解示例：
2.列主元消去法算法（该算法来源于：C.Jiang老师）：
代码：
1 %列主元消去算法，求自变量和系数行列式的值 2 %输入：系数矩阵和因变量，也就是Ax=b,中的A和b 3 %输出：自变量x和系数行列式det 4 function [z,det]=liezhu(A,b) 5 %行列式det初始值为1 6 det=1; 7 [m,n]=size(A); 8 %输入的A与b的行数与列数的限制 9 if m~=n 10 disp('输入错误，系数矩证阵只能是方阵'); 11 end 12 if n~=length (b) 13 disp('输入错误，常数项的个数应与方程的个数相同'); 14 end 15 %对于k=1,2,...,n-1，对A扫描 16 for k=1:n-1 17 %按列选主元 18 p=A(k,k);%记忆当前值 19 I=k; 20 for i=k:n 21 if abs(A(i,k)) > abs(p)%按行扫描该列的最大值 22 end 23 end 24 if I~=k%换行使当前主元绝对值最大 25 for j=k:n 26 w=A(k,j);%记忆当前主元所在行 27 A(k,j)=A(I,j);%换行 28 A(I,j)=w;%换行 29 end 30 %并且把b同时换行 31 u=b(k); 32 b(k)=b(I); 33 b(I)=u; 34 end 35 %如果得到的最大绝对值是0，则结束程序 36 if A(i,k)==0 37 det=0; 38 end 39 %消元计算 40 for i= k+1:n 41 %对于i=k+1,...,n 42 A(i,k)=A(i,k)/A(k,k); 43 b(i)=b(i)-A(i,k)*b(k); 44 for j=k+1:n 45 %对于j=k+1,...,n 46 A(i,j)=A(i,j)-A(i,k)*A(k,j); 47 end 48 end 49 %算行列式 50 det=A(k,k)*det; 51 end 52 %如果最后一个主元等于0，则停止计算。并使行列式等于0 53 if A(n,n)==0 54 det=0; 55 end 56 %回代求解 57 b(n)=b(n)/A(n,n); 58 %对于i=n-1,...,2,1 59 for i=(n-1):-1:1 60 w=0; 61 %得到一个累加值 62 for j=(i+1):n 63 w=w+A(i,j)*b(j); 64 end 65 %求得bi 66 b(i)=(b(i)-w)/A(i,i); 67 end 68 %行列式的值 69 det=det*A(n,n); 70 z=b; 71 end
运行：
小结：
就本例子而言，二者在求得的x和det没有差别。在编写数学类的程序时，务必熟识所用到的数学知识。（文中代码均为zlc所写）