二分查找问题

二分查找是分治算法中一个典型的例子，将问题不断折半，其时间复杂度为O(logN)，但前提是元素已经从小到大有序排列。

可将对数最常出现的规律概括为一般法则：如果一个算法用常数时间O(1)将问题的大小削减为其一部分（通常为一半），那么该算法是O(logN)的，相对的如果一个算法用常数时间只是把一个问题减少一个常数（如问题减少1），那么该算法是O(N)的。

基本的二分查找：

#include<iostream>
using namespace std;
int Binarysearch(int a[], int l, int r, int v)
{
	int mid;
	while (l <= r)
	{
		mid = (l + r) / 2;         //折半
		if (v > a[mid])
			l = mid + 1;
		else if (v < a[mid])
			r = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;                         //没有找到
}

但是当数组排序中有多个大小相同的元素时，再使用二分查找就需要区分上下界了。

求下界的二分查找：返回查找对象出现的第一个位置！如果该对象不存在也会返回一个位置，在该位置插入该对象序列的顺序不变！

#include<iostream>
using namespace std;
int lowerbound(int a[], int l, int r, int v)
{
	int mid;
	while (l < r)
	{
		mid = (l + r) / 2;
		if (v <= mid)                 //当mid大于等于v时，v的下界可能是mid，也可能在mid左边
			r = mid;
		else
			l = mid + 1;          //当mid小于v时，其下界只可能在v右边
	}
	return l;
}

求上界的二分查找：返回查找对象出现的最后一次位置的下一个位置。

#include<iostream>
using namespace std;
int uperbound(int a[], int l, int r, int v)
{
	int mid;
	while (l < r)
	{
		mid = (l + r) / 2;
		if (v >= mid)             
			l=mid+1;
		else
			r = mid;         
	}
	return l;
}

给出一组数据，求其最长上升子序列的最大长度：

首先区分子序列和子段。子段是连续的一段；而子序列可以是不连续的，但子序列元素之间的相对顺序是确定的。

定义一个d[k]，装入的是长度为k的子序列的最后一个元素，因为我们要求最长的上升子序列，故当长度相同时肯定是d[k]优先装入小的元素！（同理如果要求最长不上升子序列，那么d[k]优先装入大的元素）

显然d[1]=a[1],最终得到的k就是最长上升子序列的长度。

#include<iostream>
using namespace std;
int arr[1000], ans[1000], len;
int search(int i)                                    //使用求下界的二分查找查找位置
{
	int l=0, r=len, mid;
	while (l < r)
	{
		mid = (l + r) / 2;
		if (arr[i] <= ans[mid])
			r=mid;
		else
			l=mid+1;
	}
	return l;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> arr[i];
	ans[1] = arr[1];
	len = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
	{
		if (arr[i] > ans[len])             //如果是上升的，则长度加1，记录末尾元素
			ans[++len] = arr[i];
		else                               //否则能找到一个位置ans[j-1]<arr[i]<ans[j],将arr[i]插入到ans[j]中，满足相同长度下优先装入小的元素
		{
			int pos = search(i);
			ans[pos] = arr[i];
		}
	}
	cout << len << endl;                       //返回len为最长长度
	return 0;
}