【愚公系列】2023年08月 3D数学-向量的运算

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前言

向量的运算包括加法、减法、数量积和向量积四种。具体如下：

1. 向量加法：将两个向量相加，即将一个向量的终点与另一个向量的起点重合，然后从它们的起点（或终点）出发，到达它们的终点（或起点）。向量加法满足交换律和结合律。

2. 向量减法：将一个向量的反向量与另一个向量相加，即将一个向量的起点与另一个向量的起点重合，然后从它们的终点开始，到达另一个向量的终点。向量减法也满足交换律和结合律。

3. 数量积（点积）：将两个向量的对应分量相乘再相加得到一个标量。即：$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_x{b}_x+a_y{b}_y+a_z{b}_z$。数量积还有以下性质：交换律，分配律，结合律（数与向量的乘法）等。

4. 向量积（叉积）：又称为叉乘或向量叉积，得到的是一个新的向量，其方向垂直于原先的两个向量所在的平面，大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。即：$\vec{a}\times \vec{b}=|(a_y{b}_z-a_z{b}_y)\vec{i}+(a_z{b}_x-a_x{b}_z)\vec{j}+(a_x{b}_y-a_y{b}_x)\vec{k}|$。向量积的性质包括：反交换律，结合律，分配律等。

以上是向量的四种基本运算，它们在物理、工程、数学等领域都具有广泛应用。

一、向量的运算

1.加法运算

向量的加法运算是指两个向量相加得到一个新向量的运算。具体方法为将两个向量的对应分量相加，得到新向量的对应分量。例如，对于向量 $\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)$ 和向量 $\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)$，它们的和向量 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ 的计算公式为：

$$\vec{c}=(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)$$

也可以用向量加法的几何方法来理解：将向量 $\vec{b}$ 平移至向量 $\vec{a}$ 的末端，那么从向量 $\vec{0}$（原点）出发到向量 $\vec{c}$ 的末端的向量就是向量 $\vec{c}$。

几何表示：

数学表示：

平行四边形表示：

2.减法运算

向量的减法运算指的是将两个向量相互抵消，得到一个新的向量的过程。如下所示：

设有向量A和向量B，它们的减法运算表示为A-B，表示从A中减去B，得到C，即C=A-B。

具体的计算方法为：将B取反（即将B的方向取反，大小不变），然后将A和-B相加，即可得到C，即C=A+(-B)。

例如，若A=(3,4), B=(1,2)，则A-B=(3,4)-(1,2)=(2,2)。

向量减法的几何意义是，以减数B为起点，以被减数A为终点，连接起点和终点即为所得向量C的位置。

几何表示：

数学表示：

平行四边形表示：