平面的投影变换(2)——有几种几何变换？

1. 变换群(Group)

(a) 相似性变换：圆仍然是圆，正方形仍然是正方形，直线的平行和垂直属性也被保持

(b) 仿射变换：圆形变为椭圆，垂直线不再垂直，而平行线仍然平行

上图可以看到不同层次的变换，这些变换构成一个变换群，按不同层次包括：

- 通用线性群GL(n)：可逆n×n实数矩阵

- 投影线性群PL(n)：GL(n)的商群

- 仿射群(affine group)：PL(3)的子群，其最后一行为(0,0,1)

- 欧式群(Euclidean group)：仿射群的子群，左上角的2×2子阵为正交阵。

- 有向欧式群(oriented Euclidean group)：欧式群的子群，左上角的2×2子阵的行列式为1。

有些变换不是群，如透视变换，因为两个透视变换的组合是一个投影变换，而不再是透视。

某些几何属性对于某些变换具有不变性。例如：两点可分离，对于欧式变换（平移+旋转）是不变的，而对于相似性变换（平移+旋转+等方性缩放）则不是不变的。距离是欧式不变的，但不是相似性不变的。角度则对欧式变换和相似性变换都是不变的。

2. 等距变换(isometry = iso(相等) + metric(度量))

等距变换在平面变换中保持欧式距离不变。它可以表示为

或

其中є=±1. 如果є=1，则保持方向不变，是一个欧式变换（平移+缩放）。如果є=-1，则为反向等距变换，代表欧式变换+反射(diag(-1,1,1))。欧式变换构成一个群，反向等距变换不构成群。

其中R是一个2×2选择矩阵，它是个正交阵，即R^TR =RR^T =I。t 是一个平移2维向量。欧式变换也叫做位移(displacement)，它有3个自由度（1个旋转，2个平移），因此可由两对匹配点确定。

等距变换具有对长度、角度和面积的不变性。

3. 相似性变换

相似性变换 = 等距变换 + 等方性缩放，用矩阵表示为：

或

其中因子 s 表示等方性缩放。

相似性变换保持形状不变。平面相似性变换具有4个自由度，比欧式变换多一个比例因子。

相似性变换对如下属性具有不变性：角度，平行，长度比例，面积比例。

4. 仿射变换(affinity)

仿射变换 = 非奇异线性变换 + 平移，用矩阵表示为：

或

平面仿射变换具有6个自由度，可由3对匹配点对确定。

其中非奇异矩阵A可通过SVD分解，得到：

A = UDV^T = (UV^T)(VDV^T) = R(θ)R(-Ф)DR(Ф)

这表示 A 变换可以等效为如下过程：首先对坐标进行 Ф 角度旋转，然后分别在旋转后的 x 和 y 坐标方向进行比例为 λ₁和 λ₂的缩放，然后再旋转回去，最后再进行 θ 角度旋转。

仿射变换对如下属性具有不变性：平行线，平行线段的长度比例，面积比例。而对长度比例和角度没有不变性。

5. 投影变换

投影变换是一种齐次坐标下的非奇异线性变换，它的矩阵形式为：

或

它有9个自由度，但只有比例意义，因此它可由8个参数定义。两个平面之间的投影变换可以由4对匹配点（其中一个平面上的任意3点不共线）决定。

投影变换最基本的不变性是互比例(cross ratio)，即4个共线点之间的比例的比例。

投影变换的分解：投影变换可分解为相似性变换 H_S、仿射变换 H_A和投影变换 H_P的级联，即

或者

投影变换分解的意义在于可以简化算法。例如，当仅仅想在一幅投影平面上测量长度比例时，则只要对该图像进行H_P和H_A的校正就够了，因为相似性变换H_S对长度比例具有不变性。

6. 总结