问题描述:
有N件物品和一个容量为c的背包。第i件物品的重量是w[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。之所以称为”0-1背包问题”表示该问题只有两种结果:装或者不装即0或者1.
用动态规划算法解决0-1背包问题需要了解以下基本概念和原理：
2.动态规划算法常以自底向上的方式计算最优值，也就是说，从最小的子问题开始向包含该子问题的大问题方向求解，把每一次求解出的子问题的解保存下来，以便提供给包含该小问题的大问题使用，因此使用循环迭代方式计算更为合理，但从动态规划算法的两个基本要素可以看出，直接以递归方式计算更为简便，于是乎，就产生了动态规划算法的变形方法：备忘录算法。备忘录算法在递归调用过程中将已经求出的子问题的解保存下来，以便下次递归调用遇到相同的子问题可直接获取该子问题的解。
3.动态规划算法在求解最优值的过程中，将遇到的所有子问题的解记录在一张表中，同时也将一些能构造最优解的必要信息记录下来，以便用这些信息构造最优解。求解最优值的过程也俗称“填表过程”。
4.设计动态规划算法的通常的步骤：
（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征
（2）递归地定义最优值
（3）以自底向上的方式计算最优值
（4）根据计算最优值时得到的信息构造最优解
5.0-1背包问题具有最优子结构性质和重叠子问题性质。
定义m(i,j):从物品i、i+1、...、n-1、n中选择物品装入容量大小为j的背包，使该背包的总价
值最大，最大值为m(i,j),也即最优值。
假设背包容量为c，物品总数n,物品i的重量表示wi,价值表示vi，于是0-1背包问题的最优值为
m(1,c)。计算m(1,c)的值之前，先递归地定义最优值的计算方法：
（1）当背包剩余容量为j时，且j >= wi, m(i,j) = max{ m(i+1,j), m(i+1,j-wi)+vi)};说明
此时的背包剩余容量大于物品i的重量，于是在选取物品i和舍弃物品i之中选择较大的。
（2）当背包剩余容量为j时，且0< j < wi, m(i,j) = m(i+1,j); 说明物品i的重量大于背包此时
剩余容量，于是，对物品i舍弃。
（3）最小的子问题，也即只有一个物品时，如何装入背包使背包的总价值最大。假设背包剩余
容量为j时，同时只有一个物品n供选择时，此时，若j > wn, 则最大价值为wn，即 m(n,j) =
wn；若j < wn, 则最大价值为0,即 m(n,j) = 0。
注：上述考虑的物品重量和背包容量都为整数。因此，使用二维数组m[i][j]表示m(i,j)
#include "stdio.h"
#define C 10 //背包容量数
#define N 5 //物品总数
void Knapsack(int *w, int *v, int n, int c, int (*m)[C+1])
{
//先处理记录表格中的最后一行，也即完成对m[n][j]的“填空”
int j,i;
int lowc = w[n]-1 > c ? c : w[n]-1;
for (j = 0; j <= lowc; j++)
m[n][j] = 0;
for (j = lowc+1; j <= c; j++) /*lowc+1等价于我w[n]*/
m[n][j] = v[n];
//循环处理记录表格中的其他行，也即完成对m[i][j]的“填空”
for ( i = n-1; i > 1; i--)
{
lowc = w[i]-1 > c ? c : w[i]-1;
for ( j = 0; j <=lowc; j++)
m[i][j] = m[i+1][j];
for ( j = w[i]; j <= c; j++)
{
int t1 = m[i+1][j];
int t2 = m[i+1][j - w[i]] + v[i];
m[i][j] = t1 > t2 ? t1 : t2;
}
}
//处理记录表格中的第一行，也即完成对m[1][c]的“填空”
m[1][c] = m[2][c]; //背包容量c不足,物品1舍去
if(c >= w[1] && m[2][c-w[1]] + v[1] > m[2][c]) //背包容量c足够,并且选取物品1的情况价值较大
m[1][c] = m[2][c-w[1]] +v[1];
}
void Traceback(int (*m)[C+1],int *w, int *x,int n, int c)
{
int i;
for (i = 1; i < n; i++)
{
if(m[i][c] == m[i+1][c])
x[i] = 0;
else
{
x[i] = 1;
c -= w[i];
}
}
//w[n] < c ? x[n] = 1 : x[n]=0;
x[n] = (m[n][c])?1:0;
}
int main(void)
{
int i ;
int x[N+1];
int w[N+1] ={-1,2,2,6,5,4}; //各物品的质量
int v[N+1] ={-1,6,3,5,4,6}; //各物品的价值
int m[N+1][C+1];
Knapsack(w,v,N,C,m);
printf("%d\n",m[1][C]);
Traceback(m, w, x, N, C);
for (i= 1; i <= N; i++)
{
printf("%d ",x[i]);
}
printf("\n");
return 0;
}