luogu题解 P4092 【[HEOI2016/TJOI2016]树】树链剖分

题目链接：

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4092

瞎扯--\(O(Q \log^3 N)\)解法

这道先yy出了一个\(O(Q \log^3 N)\),的做法，先树链剖分。

对于加标记操作，找到那个点所在的链，将其\(top\)标记一下，然后该点到根节点区间和+1.

对于查询操作，先看这个点所在链有没有标记，如果没有，就一直向上跳直到找到一条标记了的链，然后在那条链上根据到根节点区间和进行倍增/二分

然后出去吃饭的时候忽然想到了\(O(Q \log^2 N)\)的解法,于是刚刚这个解法刚打完还没有查错，放在这做一个参考

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long 
#define ri register int 
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
template <class T>inline void read(T &x){
   x=0;int ne=0;char c;
   while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
   x=c-48;
   while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
   x=ne?-x:x;
   return ;
}
int n,q;
struct Edge{
   int ne,to;
}edge[maxn<<1];
int h[maxn],num_edge=0;
inline void add_edge(int f,int t){
   edge[++num_edge].ne=h[f];
   edge[num_edge].to=t;
   h[f]=num_edge;
   return ;
}
int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;
void dfs_1(int now){
   int v;size[now]=1;
   for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
       v=edge[i].to;
       if(v==fa[now])continue;
       fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;
       dfs_1(v);
       size[now]+=size[v];
       if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
   }
   return ;
}
void dfs_2(int now,int t){
   int v;top[now]=t;
   dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;
   if(!son[now])return ;
   dfs_2(son[now],t);
   for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
       v=edge[i].to;
       if(v==fa[now]||v==son[now])continue;
       dfs_2(v,v);
   }
   return ;
}
int sum[maxn<<2],tag[maxn<<2],L,R,dta,ok[maxn];
void build(int now,int l,int r){
   if(l==r){
      sum[now]=ok[rnk[l]];
      return ;
   }
   int mid=(l+r)>>1;
   build(now<<1,l,mid);
   build(now<<1|1,mid+1,r);
   return ;
}
void pushdown(int now,int ln,int rn){
  if(tag[now]){
      sum[now<<1]+=tag[now]*ln;
      sum[now<<1|1]+=tag[now]*rn;
      tag[now<<1]+=tag[now];
      tag[now<<1|1]+=tag[now];
      tag[now]=0;
  }
  return ;
}
void update(int now,int l,int r){
  if(L<=l&&r<=R){
      sum[now]+=dta*(r-l+1);
      tag[now]+=dta;
      return ;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  pushdown(now,mid-l+1,r-mid);
  if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
  if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
  sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];
  return ;
}
int query(int now,int l,int r){
 if(L<=l&&r<=R){
     return sum[now];
 } 
 int mid=(l+r)>>1,ans=0;
 pushdown(now,mid-l+1,r-mid);
 if(L<=mid)ans+=query(now<<1,l,mid);
 if(mid<R)ans+=query(now<<1|1,mid+1,r);
 sum[now]=sum[now<<1]+sum[now<<1|1];
 return ans;
}
void update_path(int x,int y){
  dta=1;ok[top[x]]=1;//该条链上有一个标记的点
  while(top[x]!=top[y]){
     if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
     L=dfn[top[x]],R=dfn[x];
     update(1,1,n);
  }
  if(dfn[x]<dfn[y])swap(x,y);
  L=dfn[x],R=dfn[y];
  update(1,1,n);
  return ;
}
inline int solve(int x,int y){
  int tmp,val,p=0,k=1,len,ans=0;
  bool flag=0;
  while(top[x]!=top[y]){
      if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
      len=dfn[x]-dfn[top[x]];
      if(ok[top[x]]){
           L=dfn[top[x]],R=dfn[x],
           tmp=query(1,1,n);
           p=0,k=1,flag=0;
           while(k!=0){
           L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];
           if(query(1,1,n)>tmp)flag=1,k=k>>1;
           else p=p+k,k=k<<1;
           while(p+k>len)k=k>>1;
           }
           if(flag)return ans+dfn[x+p]-dfn[x];
      }
      ans+=len;
      x=fa[top[x]];
  }
  if(dfn[x]>dfn[y])swap(x,y);
  L=dfn[x],R=dfn[y],len=dfn[y]-dfn[x];
  tmp=query(1,1,n);
  p=0,k=1;
  //cout<<y<<endl;
  if(x==y)return ans;
  while(k!=0){
      L=dfn[x+p+k],R=dfn[x];
      if(query(1,1,n)>tmp)k=k>>1;
      else p=p+k,k=k<<1;
      //if(y==3)cout<<k<<' '<<p<<endl;
      while(p+k>len)k=k>>1;
  }
  return ans+dfn[x+p]-dfn[x];
}
int main(){
   char opt[5];
   int x,y,z;
   read(n),read(q);
   for(ri i=1;i<n;i++){
      read(x),read(y);
      add_edge(x,y);
      add_edge(y,x);
   }
   dep[1]=1,fa[1]=0;
   dfs_1(1);
   dfs_2(1,1);
   ok[dfn[1]]=1;
   build(1,1,n);
   while(q--){
       scanf("%s",opt);
       if(opt[0]=='C'){
           read(x);
           //cout<<x<<"-----"<<endl;
           update_path(1,x);
       }
       else{
           read(x);
           //cout<<x<<"***"<<endl;
           printf("%d\n",solve(x,1));
       }
   }
   return 0;
}

分析---\(O(Q \log^2 N)\)解法

首先我想到了一个错误的解法，就是因为链是线段树上一个连续的区间，每个\([dfn[x],dfn[top[x]]]\)线段树区间有个\(mx\)值,表示,\(x\)到\(top[x]\)路径中距离它最近标记的祖先，加标记时比较原有标记深度与新标记深度然后更新。查询的时候查询\(x\)到\(top[x]\)的区间最大之就可以了，如果没有，就一直往上跳直至找到

然而这个解法有个错误我SB地没有发现，就是你更新区间最大值时，\(x\)上的祖先节点也会被更新到（因为深度更小），再次感谢wjyyy和creed_两位大佬指出我的错误

正解应该是更新子树，将子树的最大值更新，查询照样，相比于我错误的代码只需改一句话

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define ll long long 
#define ri register int 
using namespace std;
const int maxn=100005;
const int inf=0x7fffffff;
template <class T>inline void read(T &x){
  x=0;int ne=0;char c;
  while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
  x=c-48;
  while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
  x=ne?-x:x;
  return ;
}
int n,q;
struct Edge{
  int ne,to;
}edge[maxn<<1];
int h[maxn],num_edge=0;
inline void add_edge(int f,int t){
  edge[++num_edge].ne=h[f];
  edge[num_edge].to=t;
  h[f]=num_edge;
  return ;
}
int dep[maxn],fa[maxn],size[maxn],son[maxn],top[maxn],dfn[maxn],rnk[maxn],cnt=0;
void dfs_1(int now){
  int v;size[now]=0;
  for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
      v=edge[i].to;
      if(v==fa[now])continue;
      fa[v]=now,dep[v]=dep[now]+1;
      dfs_1(v);
      size[now]+=size[v];
      if(!son[now]||size[son[now]]<size[v])son[now]=v;
  }
  return ;
}
void dfs_2(int now,int t){
  int v;top[now]=t;
  dfn[now]=++cnt,rnk[cnt]=now;
  if(!son[now])return ;
  dfs_2(son[now],t);
  for(ri i=h[now];i;i=edge[i].ne){
      v=edge[i].to;
      if(v==fa[now]||v==son[now])continue;
      dfs_2(v,v);
  }
  return ;
}
int mx[maxn<<2],L,R,dta;
void build(int now,int l,int r){
  if(l==r){
     if(rnk[l]==1)mx[now]=1;
     else mx[now]=0;
     return ;
  }
  int mid=(l+r)>>1;
  build(now<<1,l,mid);
  build(now<<1|1,mid+1,r);
  if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){
        mx[now]=mx[now<<1];
 }
 else mx[now]=mx[now<<1|1];
  return ;
}
void update(int now,int l,int r){
 if(L<=l&&r<=R){
     if(dep[mx[now]]<dep[dta]){
        mx[now]=dta;
     }
     return ;
 }
 int mid=(l+r)>>1;
 if(L<=mid)update(now<<1,l,mid);
 if(mid<R)update(now<<1|1,mid+1,r);
 if(dep[mx[now<<1]]>dep[mx[now<<1|1]]){
        mx[now]=mx[now<<1];
 }
 else mx[now]=mx[now<<1|1];
 return ;
}
int query(int now,int l,int r){
if(L<=l&&r<=R){
    return mx[now];
} 
int mid=(l+r)>>1,ans=0,tmp;
if(L<=mid){
   int tmp=query(now<<1,l,mid);
   if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;
}
if(mid<R){
   int tmp=query(now<<1|1,mid+1,r);
   if(dep[ans]<dep[tmp])ans=tmp;
}
return ans;
}
void update_path(int x){
 dta=x;
 //L=R=dfn[x];
 L=dfn[x],R=dfn[x]+size[x];
 update(1,1,n);
 return ;
}
int query_path(int x){
 int ans=0;
 while(top[x]!=1){
    L=dfn[top[x]],R=dfn[x];
    ans=query(1,1,n);
    if(ans!=0)return ans;
    x=fa[top[x]];
 }
 L=dfn[1],R=dfn[x];
 ans=query(1,1,n);
 return ans;
}
int main(){
  char opt[5];
  int x,y,z;
  read(n),read(q);
  for(ri i=1;i<n;i++){
     read(x),read(y);
     add_edge(x,y);
     add_edge(y,x);
  }
  dep[0]=-1,dep[1]=1,fa[1]=0;
  dfs_1(1);
  dfs_2(1,1);
  build(1,1,n);
  while(q--){
      //cout<<q<<endl;
      scanf("%s",opt);
      if(opt[0]=='C'){
          read(x);
          update_path(x);
      }
      else{
          read(x);
          printf("%d\n",query_path(x));
      }
  }
  return 0;
}

luogu题解 P4092 【[HEOI2016/TJOI2016]树】树链剖分

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