对于一个含有个元素的数列, $A_{0}, A_{1}, \dots A_{n}$ ，满足这样的递归公式

Ai= $\frac{A_{i-1}+A_{i+1}}{2}$ -C_i $1 \leq i \leq n$

现在我们知道 $A_{0}, A_{n + 1}$ 和 $C_{1}, C_{2}, \dots C_{n}$ 。

现在请你帮忙计算 $A_{1}$ 的值。

输入格式

第一行输入一个整数 $n (1 \leq n \leq 1000)$ 。

第二行输入两个数 $A_{0}$ 和 $A_{n + 1}$ ，接着是 $n$ 个数据分别是 $C_{1}, C_{2}, \dots C_{n}$ 。所有的数据均是两位小数的浮点数。

输出格式

输出 $A_1$ 的值，结果保留两位小数。

样例输入1

1
50.50 25.50
10.15

样例输出1

27.85

样例输入2

2
-756.89 52.52
172.22 67.17

样例输出2

-761.49

自己的代码：

[cpp] view plain copy

print ?

<textarea readonly =“readonly” name=“code”>#include <stdio.h>
int n;
double a[1002]={0};
double c[1002]={0};
int i;
double f(int j)
{
double sum1;
sum1=n*a[0]+a[n+1];
//sum1/=(n+1);
double sum2=0;
double temp=2*n;
i=1;
do
{
double x;
//double x=temp/(n+1);
x=temp*c[i];
sum2+=x;
temp-=2;
i++;
}while(temp!=0);
printf(”%.2lf\n”,(sum1-sum2)/(n+1));
return 0;
}
int main()
{
scanf(”%d”,&n);
scanf(”%lf”,&a[0]);
scanf(”%lf”,&a[n+1]);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf(”%lf”,&c[i]);
}
f(1);
return 0;
} </textarea>

<textarea readonly ="readonly" name="code">#include <stdio.h>
    int n;
    double a[1002]={0};
    double c[1002]={0};
    int i;
double f(int j)
{
    double sum1;
    sum1=n*a[0]+a[n+1];
    //sum1/=(n+1);
    double sum2=0;
    double temp=2*n;
    i=1;
    do
    {
        double x;
        //double x=temp/(n+1);
        x=temp*c[i];
        sum2+=x;
        temp-=2;
        i++;
    }while(temp!=0);
     printf("%.2lf\n",(sum1-sum2)/(n+1));
     return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lf",&a[0]);
    scanf("%lf",&a[n+1]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&c[i]);
    }

    f(1);
    return 0;
 } </textarea>

我的递推公式：（n+1）*a1=n*a[0]+a[n+1]-(2*n)*c[1]-(2*n-2)*c[2]-……-(4)*c[n-1]-（2）*c[n]

更优的解法：

思路：根据公式可推得(不考虑C)

A2=2*A1-A0;

A3=2*A2-A1=3A1-2*A0;

A4=2*A3-A2=4*A1-3*A0;

可以看出A(n+1)中有n+1个A1。我们可以先将A1当成0，用递推推出A(n+1)。再用给出的A(n+1)的值减去推出的A(n+1)的值，就可以得到n+1个A1的值。

代码实现：

[cpp] view plain copy

print ?

<textarea readonly =“readonly” name= “code”>#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
double a[1005];
int main()
{
int n;
double an1,c;
cin>>n;
cin>>a[0]>>an1;
a[1]=0;//关键一步，假设为零递推下去
for(int i=2;i<=n+1;i++)
{
cin>>c;
a[i]=2*a[i-1]-a[i-2]+2*c;
}
printf(”%.2f\n”,(an1-a[n+1])/(n+1));
return 0;
} </textarea>

<textarea readonly ="readonly" name= "code">#include <cstdio>

include <cstring>

include <algorithm>

include <iostream>

using namespace std;
double a[1005];
int main()
{
int n;
double an1,c;
cin>>n;
cin>>a[0]>>an1;
a[1]=0;//关键一步，假设为零递推下去
for(int i=2;i<=n+1;i++)
{
cin>>c;
a[i]=2*a[i-1]-a[i-2]+2*c;
}
printf("%.2f\n",(an1-a[n+1])/(n+1));
return 0;
} </textarea>

方法三：

递推公式 A(i+1)=2*Ai-A(i-1)+2*Ci

假设i=2和3 分别代入上式一直化简可以得到公式

An=n*A1-(n-1)A0+ 【求和（ 2(n-i)Ci ）】 ( i从1到n-1 )

代码实现：

[cpp] view plain copy

print ?

<textarea readonly =“readonly” name=“code”>#include <stdio.h>
int main(){
int n;
double c,a0,an1;
scanf(”%d”,&n);
scanf(”%lf %lf”,&a0,&an1);
double ans=0;
ans=an1+n*a0;
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf(”%lf”,&c);
ans-=c(n-i+1)*2;
}
ans/=(n+1);
printf(”%.2lf\n”,ans);
return 0;
}
</textarea>

<textarea readonly ="readonly" name="code">#include <stdio.h>

int main(){
int n;
double c,a0,an1;
scanf("%d",&n);
scanf("%lf %lf",&a0,&an1);
double ans=0;

ans=an1+n*a0;
for(int i=1;i&lt;=n;i++){
    scanf("%lf",&amp;c);
    ans-=c*(n-i+1)*2;
}
ans/=(n+1);
printf("%.2lf\n",ans);
return 0;

}
</textarea>

总结：数|列的递归、通项公式的求解、代码实现

方程的思想：令A1=0，解得（x_n+1)的值，然后用题目已知的An1减去该值，得到最终答案。

对于一个含有个元素的数列, $A_{0}, A_{1}, \dots A_{n}$ ，满足这样的递归公式

Ai= $\frac{A_{i-1}+A_{i+1}}{2}$ -C_i $1 \leq i \leq n$

现在我们知道 $A_{0}, A_{n + 1}$ 和 $C_{1}, C_{2}, \dots C_{n}$ 。

现在请你帮忙计算 $A_{1}$ 的值。

输入格式

第一行输入一个整数 $n (1 \leq n \leq 1000)$ 。

第二行输入两个数 $A_{0}$ 和 $A_{n + 1}$ ，接着是 $n$ 个数据分别是 $C_{1}, C_{2}, \dots C_{n}$ 。所有的数据均是两位小数的浮点数。

输出格式

输出 $A_1$ 的值，结果保留两位小数。

样例输入1

1
50.50 25.50
10.15

样例输出1

27.85

样例输入2

2
-756.89 52.52
172.22 67.17

样例输出2

-761.49

自己的代码：

[cpp] view plain copy

print ?

<textarea readonly =“readonly” name=“code”>#include <stdio.h>
int n;
double a[1002]={0};
double c[1002]={0};
int i;
double f(int j)
{
double sum1;
sum1=n*a[0]+a[n+1];
//sum1/=(n+1);
double sum2=0;
double temp=2*n;
i=1;
do
{
double x;
//double x=temp/(n+1);
x=temp*c[i];
sum2+=x;
temp-=2;
i++;
}while(temp!=0);
printf(”%.2lf\n”,(sum1-sum2)/(n+1));
return 0;
}
int main()
{
scanf(”%d”,&n);
scanf(”%lf”,&a[0]);
scanf(”%lf”,&a[n+1]);
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf(”%lf”,&c[i]);
}
f(1);
return 0;
} </textarea>

<textarea readonly ="readonly" name="code">#include <stdio.h>
    int n;
    double a[1002]={0};
    double c[1002]={0};
    int i;
double f(int j)
{
    double sum1;
    sum1=n*a[0]+a[n+1];
    //sum1/=(n+1);
    double sum2=0;
    double temp=2*n;
    i=1;
    do
    {
        double x;
        //double x=temp/(n+1);
        x=temp*c[i];
        sum2+=x;
        temp-=2;
        i++;
    }while(temp!=0);
     printf("%.2lf\n",(sum1-sum2)/(n+1));
     return 0;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%lf",&a[0]);
    scanf("%lf",&a[n+1]);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&c[i]);
    }

    f(1);
    return 0;
 } </textarea>

我的递推公式：（n+1）*a1=n*a[0]+a[n+1]-(2*n)*c[1]-(2*n-2)*c[2]-……-(4)*c[n-1]-（2）*c[n]

更优的解法：

思路：根据公式可推得(不考虑C)

A2=2*A1-A0;

A3=2*A2-A1=3A1-2*A0;

A4=2*A3-A2=4*A1-3*A0;

可以看出A(n+1)中有n+1个A1。我们可以先将A1当成0，用递推推出A(n+1)。再用给出的A(n+1)的值减去推出的A(n+1)的值，就可以得到n+1个A1的值。

代码实现：

[cpp] view plain copy

print ?

<textarea readonly =“readonly” name= “code”>#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
using namespace std;
double a[1005];
int main()
{
int n;
double an1,c;
cin>>n;
cin>>a[0]>>an1;
a[1]=0;//关键一步，假设为零递推下去
for(int i=2;i<=n+1;i++)
{
cin>>c;
a[i]=2*a[i-1]-a[i-2]+2*c;
}
printf(”%.2f\n”,(an1-a[n+1])/(n+1));
return 0;
} </textarea>

<textarea readonly ="readonly" name= "code">#include <cstdio>

2018蓝桥杯模拟赛（一）G【math 递推】

输入格式

输出格式

样例输入1

样例输出1

样例输入2

样例输出2

include <cstring>

include <algorithm>

include <iostream>

输入格式

输出格式

样例输入1

样例输出1

样例输入2

样例输出2

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