微分几何学习(二)(曲线论，弧微分)

上一节学到了向量函数，其实不难发现我们接触向量函数肯定比知道这个向量函数的概念要早。通过上一章了解了向量函数的求微和求积，以后也不会考虑很多的，直接对单个求就行了。因为向量函数求微/积就是每个组成向量的成分单独求解。而且最后还有一些重要的概念，需要牢记，会使用。比如何时向量函数为常数，何时向量函数方向不变，何时与某个固定方向垂直。

1.参数曲线

E3空间的一条曲线可以表示为从区间[a，b]到E3空间的一个连续映射    p:[a，b]→E3  (解释一下映射，映射其实可以看做函数对应关系，也就是f[a，b]=E3（内部的一条曲线），更范范地说就是通过映射运算，可以拿[a，b]求出E3空间的一条曲线)。该映射称为参数曲线。|
曲线上的点p(t)(a≤t≤b)与向径等同，设r(t)=，则因此该映射等于三个实函数x(t)，y(t),z(t)。

2.曲线正则点

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为r(t)的导数，当△t→0时，在正则点r(t)时曲线有完全确定的切线。
曲线在正则点的切线方程为其中X(u)是切线上点的向径(原点到u点的矢量)，t是固定的，u是切线上的参数。

画了个彩色的图，应该还蛮清楚的吧。

3.上面的r(t)的导数不为0，就可以说我们的曲线是光滑的，这里你可能会问了，导数为0不就意味着切线是平的么……这里的r(t)不能单纯地看为一个函数，r(t)=(x(t)，y(t))，是说的x，y对t的导数同时为0时，曲线将不再光滑。为了说明其中的寓意这里做一个拓展----曲率，弧微分

4.引入同济高等代数PPT，它讲的很清楚

下面的弧微分取正号是因为随着时间的增加，弧长是单调递增的。

同济大学书上对光滑曲线的定义

从这个定义我们就可以看出要想曲线光滑，就需要切线随切点移动连续转动。当x'(t)=0时,x不随t的变化而变化，若y'(t)和x'(t)同时为0，既图形在t点无定义，也就是切线不随切点的移动连续转动了，因此该点不光滑。