本文翻译于何凯明博士的《Single Image Haze Removal Using Dark Channel Prior》这篇文章。
背景
在计算机视觉和计算机图形学中，广泛用于描述雾图像形成的模型如式（1）所示：
其中I为观测图像（待去雾图像），J为无雾图像（待恢复的图像），A为全球大气光成分，t为透射率。去除雾霾的目标是从I中恢复J，A和t对于N个像素的彩色图像I，存在3N个约束和4N+3个未知数。这使得雾霾清除的问题本质上不明确。
式（1）中等式右侧的第一项被称为直接衰减，第二项被称为空气光，直接衰减描述了场景辐射及其在介质中的衰减，空气光由之前的散射光产生并导致场景颜色的转变。 虽然直接衰减是场景辐射的乘法失真，但是空气光是一种加性失真。
当大气均匀时，透射率t可以表示为：
其中，β为大气的散射系数，d为场景深度。等式表面，透射率随场景深度呈指数变化。如果我们能够恢复转化关系，就能将场景深度恢复到未知的范围。
在几何学中，雾霾图像式（1）表示：在RGB彩色空间中，矢量A（x）、J（x）、和t（x）是共面的，他们的终点是共线的如图1（a）所示。透射率t是两条线段的比率：
其中c{r,g,b}是颜色通道索引。
图1
（a） 雾霾图像模型；（b）法塔尔工作中使用的恒定反照率模型
暗通道先验
暗通道先验基于以下户外无雾图像的观察：在绝大多数非天空图像区域中，至少有一个通道具有强度非常低且接近于零的像素。因此，这些最小强度像素值接近于0。
为了正式描述这个观测结果，我们首先定义一个暗通道概念。对于任意图像J，其暗通道Jdark定义为：
式中Jc是图形J的颜色通道，Ω(x)是以x为中心的一个局部块。暗通道是两个最小运算的结果，在每个像素上执行（如图2（b）），是最小滤波器（如图2（c））。最小操作符是可互换位置的。
图2暗通道计算
（a）任意图像J；（b）每个像素，计算得到的（r,g,b）的最小值；（c）最小滤波器在b图上操作后的结果；Ω的大小为15*15
根据暗通道的定义，研究表明，如果图像J是户外非天空的无雾霾图像，则J的暗通道强度很低，并趋于于零：
Jdark -﹥0.（5）
我们称之为暗通道先验。
暗通道中的低强度主要由三个因素造成：a）阴影，例如城市景观图像中车辆，建筑物和窗户内部的阴影，或者景观图像中树叶，树木和岩石的阴影; b）多彩物体或表面，例如任何颜色通道（例如，绿草/树木/植物，红色或黄色花朵/叶子和蓝色水面）中具有低反射率的任何物体将导致暗通道中的低值; c）暗的物体或表面，例如暗的树干和石头。 由于自然室外图像通常是丰富多彩的阴影，这些图像的暗通道真的很暗！
实验通过测试户外景观等无雾霾图像，共5000幅，结果表明，75%的暗通道像素强度为0，90%的暗通道像素强度低于25。这一数据为之前的暗通提供了有力支持。
由于附加空气光，雾霾图像比透光率低的非雾霾图像在视觉上更亮，因此雾霾图像的暗通道在雾霾密度较高的地区具有较高的强度。从视觉上看，暗通道强度是对雾霾强度的粗略近似。
利用暗通道先验消除雾霾
估算透射率
首先假设大气光A已经给出，将雾霾成像方程归一化为：
注意，将每个颜色通道单独归一化。
假设局部区域Ω(x)的透射率是恒定的，将其计为，然后计算公式（6）两边的暗通道。然后在等式两边求两次最小运算：
因为是常量，所以可以放在最小运算符的外面。
由于图像J是没有雾霾的图像，由暗通道先验可知J的暗通道接近于0：
由于Ac是常数，所以存在：
将式（9）带入式（7），可以简单的消除乘法项并估算透射率：
事实上是归一化雾霾图像的暗通道，直接估算出了透射率。
正如之前提到的，暗通道先验对于天空区域并不是好的先验。幸运的是，在雾霾图像I中，天空的颜色通常与大气光A相似，因此在天空区域中有：
这时式（10）中。
实际上，即使在晴朗的日子里，也大气并不是完全没有任何微粒。所以当我们看远处的物体时，阴霾依然存在。此外，阴霾的存在是人类感知深度的基本线索。这种现象被称为空中透视。如果我们彻底消除阴霾，图像可能看起来不自然，我们可能会失去深度感。因此，通过引入一个常量参数，我们可以选择为远处的物体保留极少量的雾霾：
这种设置的好处是，我们可以自主的为远处的物体保留更多的阴霾，本文将其设置为0.95。
在暗通道先验的帮助下，乘法项被丢弃，并且加性项足以估计透射率。我们可以进一步概括式（1）为：
其中t1、t2不同。利用退到公式（11）的方法，可以估计t2并分离加性项。问题被简化为乘法形式（J(x)t1），其他约束或先验可以用来进一步分解这个项。在人们研究的视觉文献中，这个加性项被称为炫光亮度。式（13）可以用来描述通过面纱或高光炫光看到的场景。
估算大气光
我们一直假设大气光A是已知的，在本节我们提出一种估算A的方法。在之前的方法中 ，将最不透光区域的颜色被用作A或者A的初始猜测值，然而却很少关注最不透光区域。
在Tan的研究中，雾霾图像中最亮的像素被认为是最不透明的像素，这种观点只有当阴天，阳光可以忽略的情况下才成立。事实上大气光是场景的唯一光源，因此每个颜色通道的场景辐射度表示为：
其中R<1是场景点的反射率，雾霾公式（1）可以写成如下形式：
当图像中的像素在无穷远距离时，最明亮的I是最不透明的，其近似等于A。然而，实际上我们不能忽略太阳光，考略到太阳光，将公式修改为：
式（15）表示为：
在这种情况下，整幅图像的最亮像素可能比大气光强更亮，他们可以是白色墙上或者汽车上的像素。
如前面讨论的，雾霾图像的暗通道接近雾霾密度，因此可以使用暗通道来检测最不透光区域，并改善大气光的估计值。我们首先选取暗通道最亮点0.1% 的像素，这些像素通常是最不透光的像素，在这些像素中，输入图像I中具有最高亮度的像素选出来作为大气光。请注意这些像素在整幅图像中可能不是最亮的。
无雾霾图像恢复
根据大气光和透射率，利用式（1）可以恢复无雾图像。但是当透射率t接近于0时，直接衰减项J(x)t(x)非常接近于0，直接恢复的场景图J很容易产生噪声。因此我们可以通过下线阈值t0来限制透射率，在雾霾非常密集的区域保持少量雾度。最终无雾图像恢复为：
本文t0的值设置为0.1。因为场景图的辐射通常不像大气光那样明亮，所以去雾霾后的图像看起来比较暗淡，因此我们对回复的图像增加了曝光量。
最小模板区域设置
模板的区域大小是算法的重点。一方面，模板区域越大暗通道先验效果越好，因为区域越大包含暗像素的概率越大，即尺寸越大，暗通道越暗；模板尺寸越小，暗通道先验不够准确，恢复的场景辐射过饱和。另一方面，透射率在模板尺寸计算中不变并不令人信服。本文窗口尺寸用15*15。