5 光线/二次曲面 相交和映射

　　光线和二次曲线相交的相对简单的类别：圆柱体，圆锥体，椭圆体，双曲面等。球体和平面是该族物体的特殊子类。 出于效率的原因，这些简单的对象通常被赋予它们自己的相交实例。 例如，参见[13]以获得更快的圆柱交点方法。 本节将介绍这些对象的广义相交。 同样，参数光线公式和隐式表面方程用于解决相交问题。 标准映射在本节末尾讨论。

　　5.1 光线/二次曲面 相交

　　　　定义光线:

　　　　　　

　　　　　　

　　　　使用[4]中的公式，二次曲面表面方程为：

　　　　　　

　　　　矩阵标记为Q，在二次曲面上用于执行变换和其他运算。 有关这些操作的进一步讨论，请参见[6]和[4]。 该等式等效于函数F（X，Y，Z）= 0的情况：

　　　　　　

　　　　将(G1)代入(G2)，求解t，得到二次方程的系数:

　　　　　　

　　　　如果A_q！= 0，则检查平方判别式。 如果△<0，则不发生交叉。 否则，如果需要，计算t0和可能的t1。 t的最小正值用于计算最近的相交点:

　　　　　　

　　　　如果Aq = 0。那么就很简单了:

　　　　　　

　　　　一旦计算出t，就使用等式（C8）计算交点ri。 通过取函数F相对于X，Y和Z的偏导数来形成二次曲面的法线:

　　　　　　

　　　　请注意，r_n未标准化。 乘以2可以删除，因为此时法线的长度并不重要。 此外，法线应该在面向光线的表面，因此该矢量的方向必须根据其与方向矢量R_d的关系而反转。 如果r_n点乘R_d> 0，那么法线应该反转。