[题解] BZOJ 2154 Crash的数字表格

BZOJ 2154 Crash的数字表格

跟着litble学套路

Solution

题目要求:

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}LCM(i,j)$$

开始疯狂套路

0x00

首先化为常见的$gcd$的形式

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{gcd(i,j)}$$

0x01

然后枚举$gcd$

$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{d}*[gcd(i,j)==d]$$

0x02

接着将$gcd(a,b)==d$变为$gcd(a/d,b/d)==1$

$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}ijd*[gcd(i,j)==1]$$

0x03

其次我们通过莫比乌斯函数的性质

$$\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &otherwise \end{cases}$$
将 $[gcd(i,j)==1]$转化为 $\sum_{t|gcd(i,j)}\mu(t)$,即 $\sum_{t|i\land t|j}\mu(t)$
$$\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{d} \right \rfloor}ijd*\sum_{t|i\land t|j}\mu(t)$$

0x04

下一步枚举$t$
同时$i,j$也会变形,变为枚举$t$的倍数

$$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{t=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\mu(t)*(t*\sum_{i=1}^{\left \lfloor \frac{n}{dt} \right \rfloor}i)*(t*\sum_{j=1}^{\left \lfloor \frac{m}{dt} \right \rfloor}j)$$
假设 $sum(n)$表示 $1\cdots n$的和,即 $\sum_{i=1}^{n}i$
则原式为
$$\sum_{d=1}^{n}d\sum_{t=1}^{\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\mu(t)*t^2*sum(\left \lfloor \frac{n}{dt} \right \rfloor)*sum(\left \lfloor \frac{m}{dt} \right \rfloor)$$

0x05

设$T=td$,枚举$T$

$$\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}^{n}(T^2/d)\mu(\frac{T}{d})*sum(\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor)*sum(\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor)$$

0x06

$$\sum_{T=1}^{n}sum(\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor)*sum(\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor)*T\sum_{t|T}^{n}t*\mu(t)$$

0x06

设$F(T)=T\sum_{t|T}^{n}t*\mu(t)$
话说差点忘了$d$导致没推出来,想了好久

$$\sum_{T=1}^{n}F(T)*sum(\left \lfloor \frac{n}{T} \right \rfloor)*sum(\left \lfloor \frac{m}{T} \right \rfloor)$$

搞定

你以为这样就完了??

不存在的
还有一个反套路的点
如何求$F(T)$?
显然是卷积的形式
那么它同时也是一个积性函数
所以按理来说应该可以线性筛
我们考虑新增一个质因数$p$
原来处理出来了$F[i]$
若$i\mod p\neq 0$

$$F[i*p]=F[i]+F[i]*(-1)*p$$
$$F[i*p]=F[i]*F[p]$$
若 $i\mod p=0$
$$F[i*p]=F[i]$$

代码如下:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10000005;
const int mod = 20101009;
int pri[N],tot,mu[N],n,m;
long long f[N];
long long s[N];
bool mark[N];
void get() {
    mu[1]=1;
    f[1]=1;
    for(register int i=2;i<=10000000;++i) {
        if(!mark[i]) {
            pri[++tot]=i;
            f[i]=1-i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(register int j=1;j<=tot && pri[j]*i<=10000000;++j) {
            mark[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j]==0) { 
                f[i*pri[j]]=f[i];
                break;
            }
            f[i*pri[j]]=f[i]*f[pri[j]]%mod;
            mu[i*pri[j]]=-mu[i];
        }
    }
    for(register int i=1;i<=10000000;++i) {
        f[i]=((f[i]*i)%mod+f[i-1])%mod;
        s[i]=(s[i-1]+i)%mod;
    }
}
int main() {
    get();
    scanf("%d%d",&n,&m);
    if(n>m) swap(n,m);
    int pos=0,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i=pos+1) {
        pos=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans=(ans+(f[pos]-f[i-1]+mod)%mod*s[n/i]%mod*s[m/i]%mod)%mod;
    }
    printf("%d\n",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}