渲染管线整个流程如下：

首先是顶点输入，通过模型变换，相机变换和投影变换变换到一个标准坐标系中ndc( $x\in[-1,1]$ , $y\in[-1,1]$ , $z\in[-1,1]$ (或者[0,1]))，但是光有顶点数据是不够的，需要把它组装成点或者线或者三角形片元。然后把数据从ndc坐标转换到屏幕坐标形成片元，最后插值属性(比如颜色，深度值等)。

模型变换

模型变换有最基本平移旋转和尺度变换，推倒下次写
(x,y,z)表示当前坐标，(x’,y’,z’)表示转换后的坐标，其次坐标公式表示如下：

平移变换
$⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x' y' z' 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ 100001000010 t x t y t z 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x y z 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥$ $\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & 0 & t_y \\ 0 & 0 & 1 & t_z \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$
旋转变换
- x轴旋转
  $⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x' y' z' 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ 1000 0 cos θ x sin θ x 0 0 - sin θ x cos θ x 0 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x y z 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥$ $\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta_x & -\sin \theta_x & 0\\ 0 & \sin \theta_x & \cos \theta_x & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$
- y轴旋转
  $⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x' y' z' 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ cos θ y 0 - sin θ y 0 0100 sin θ y 0 cos θ y 0 0001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x y z 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥$ $\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \theta_y & 0 & \sin \theta_y & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0\\ -\sin \theta_y & 0 & \cos \theta_y & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$
- z轴旋转
  $⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x' y' z' 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ cos θ z sin θ z 00 - sin θ z cos θ z 00 00100001 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x y z 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥$ $\begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \cos \theta_z & -\sin \theta_z & 0 & 0 \\ \sin \theta_z & \cos \theta_z & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0& 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y\\ z\\ 1 \end{bmatrix}$

相机变换

假设右手坐标系，与opengl一致看向-z轴，如下
相机变换
相对于世界的相机观察如下：

相机y轴代表view up向量，相机x轴代表view side向量，-z轴代表了朝向，可以代表物体和相机的距离。
计算相机矩阵有二种方法：

相机相对原点的位置E，相机的朝向 $v_{dir}$ 和 $v_{up}$ ，都是单位化过， $v_{side}=v_{dir}\times v_{up}$ ，如果不知道 $v_up$ ，通常程序会设置一个垂直向上的方向 $v_{world\_up}$ ，比如(0,1,0)。

根据施密特正交:

计算
$\mathbf v_{up}=\mathbf v_{world\_up}-(\mathbf v_{world\_up}\cdot \mathbf v_{dir})\mathbf v_{dir}$
注意当 $\mathbf v_{world\_up}$ 和 $\mathbf v_{dir}$ 方向一致的时候 $(\mathbf v_{world\_up}·\mathbf v_{dir})\mathbf v_{dir}=1·\mathbf v_{dir}$ 得到 $\mathbf v_{up}=\mathbf0\ \mathbf v_{world_up}$ 和 $v_{dir}$ 方向相反也是得到 $\mathbf 0$
如果采用这种方法要避免world_up与观察方向一致。
解决方法是出现这种情况是指定任意的一个向量，比如 $\mathbf i,\mathbf j$ 。
知道E和三个旋转值roll,pitch ,yaw，可以直接得到相机矩阵
把世界坐标转换到相机坐标： $\mathbf M_{world\to view}$
通常我们直接求解从世界坐标系转换到相机坐标系的矩阵比较困难，但是找到一个从相机坐标系到世界坐标系的转换矩阵比较 $\mathbf M_{view\to world}$
即得到这个矩阵后，对它求逆(invert())即可。

假设一开始世界坐标(黑色基)与相机坐标系(红色基)重合，相机相对世界坐标先旋转后平移到图3，把小人转换到相机坐标系，先进行一个逆平移，再进行一个逆旋转即可得到，
即相机到世界的变换通过一个旋转和一个平移的仿射变换
记原点到相机位置的向量记为 $\mathbf v_{pos}$
假设旋转的三个列向量量为 $\mathbf{u,v,w}$
$M v i e w \to w o r l d = T R = [i, j, k, v p o s] [u, v, w, 1] M v i e w \to w o r l d = M - 1 v i e w \to w o r l d = ([E 0 T v p o s 1] [R 0 T 01]) - 1 = [R - 1 0 T - (R - 1 v p o s) 1] = [R T 0 T - (R T v p o s) 1]$ $\mathbf M_{view\to world}=\mathbf {TR}= [\mathbf{i,j,k,}\mathbf v_{pos}][\mathbf{u,v,w,1}]\\ \mathbf M_{view\to world}=\mathbf M_{view\to world}^{-1}= \left( \begin{bmatrix} \mathbf E & \mathbf v_{pos}\\ \mathbf 0^T & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf R & \mathbf 0\\ \mathbf 0^T && 1 \end{bmatrix} \right)^{-1}= \begin{bmatrix} \mathbf R^{-1} & -(\mathbf R^{-1}\mathbf v_{pos})\\ \mathbf 0^T & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \mathbf R^{T} & -(\mathbf R^{T}\mathbf v_{pos})\\ \mathbf 0^T & 1 \end{bmatrix}$
通常R为正交矩阵即 $\mathbf R^{-1} = \mathbf R^{T}$

光照

下次写

投影变换

投影定义
用一个线性变换把n空间的点变换到m空间(m

视锥

通常视锥把空间限制在一个6面的突面体，在这个体内的物体会被渲染或者一个截断无限金字塔。

渲染管线理解1

模型变换

相机变换

光照

投影变换

视锥

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