1 视锥

视锥把空间限制在一个6面的突面体，在这个空间的物体会被渲染，下图是一个截断的金字塔。
视图窗口大小，视角，视图距离。知道任意2个计算第三个变量。
视图窗口大小固定，调整视角(fov)，视角越大，视图距离(focus length)越小。
视角固定，调整视图距离，视图距离越大，视图窗口越大。

视锥通常有一个近平面，近平面距离一般不为0，因为之后做除法会有问题，在投影矩阵中讲。
远平面是可选择的，一般为了提高效率会设置一个圆平面，近平面和远平面的距离决定了深度(z)的精度。

2 齐次坐标

三维空间 $R^3$ 中的点(x,y,z)可以表示齐次坐标 $RP^3$ 的点(x,y,z,1)

在n维空间中的点在n+1维空间中可以通过变换n维空间点的尺度，并把这个尺度放到多出来的维度上。
$(x,y,z)\to(x',y',z',w)$
即从三维空间到齐次坐标乘以一个尺度w，一般情况下w=1
$(xw,yw,zw,w)$
从齐次坐标到三维坐标
$(x',y',z',w)\to(x'/w,y'/w,z'/w)$
三维平面的点在齐次坐标系中有n个点，即不同的w，如果当w=0情况下， $(x'/w,y'/w,z'/w)$ 都无穷大，表示的是一个无穷远的点。通常在代码中，我们可以设置 $(x,y,z,0)$ 表示一个向量， $(x,y,z,1)$ 表示一个顶点。

3 透视投影

投影平面

假设视角(fov)为θ，我们采用和opengl一致的右手坐标系，看向-z轴，投影在yz平面上。焦距d计算如下：
$\tan \frac{\theta}{2}=\frac{1}{d}\to d=\cot \frac{\theta}{2}$

这里写图片描述

在规格化设备坐标（normalized device coordinates,ndc）中，即 $x\in[-1,1],y\in[-1,1]$ ，我们投影在ndc坐标系中，投影yz平面如上， $y_v,z_v$ 表示在View空间的点， $(y_{ndc},-d)$ 表示 $y_v,z_v$ 投影在 $z=-d$ 平面上的点，

y n d c y v = d - z v \to y n d c = d - z v y v

$\frac{y_{ndc}}{y_v}=\frac{d}{-z_v}\to y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v$

假设平面宽高比为 $a={w_v\over h_v}$ ， $w_v,h_v$ 分别代表视窗的长和宽。同样要使得 $y_v$ 归一化到 $[-1,1]$
同理可以得到：

x n d c x v a = d - z v \to x n d c = d - a z v x v

$\frac{x_{ndc}}{x_v\over a}=\frac{d}{-z_v}\to x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v$
即：

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x n d c = d - a z v x v y n d c = d - z v y v

$\left\{ \begin{array}{ll} x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v\\ y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v \end{array} \right.$
总的公式如下：

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x n d c = d - a z v x v y n d c = d - z v y v z n d c = - d

$\left\{ \begin{array}{ll} x_{ndc}=\frac{d}{-az_v} x_v\\ y_{ndc}=\frac{d}{-z_v}y_v\\ z_{ndc}=-d \end{array} \right.$
所有的z坐标都变成了-d。不能表示成一个
线性或者是仿射变换。
齐次坐标中，

RP3 $RP^3$ 到

R3 $R^3$ 变换通过一个w量。
把w设为-zv，就可以处理这个非线性的变换。

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ x 齐 次 = d a x v (d / a, 0, 0, 0) y 齐 次 = d y v (0, d, 0, 0) z 齐 次 = d z v (0, 0, d, 0) w = - z v (0, 0, - 1, 0)

$\left\{ \begin{array}{ll} x_{齐次}=\frac{d}{a} x_v\qquad (d/a,0,0,0)\\ y_{齐次}=dy_v\qquad (0,d,0,0)\\ z_{齐次}=dz_v\qquad (0,0,d,0)\\ w = -z_v\qquad (0,0,-1,0) \end{array} \right.$
w未使用
写成矩阵形式

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 齐 次 y 齐 次 z 齐 次 w ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 000 0 d 00 00 d - 1 0000 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x v y v z v 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

$\left[ \begin{array}{c} x_{齐次}\\ y_{齐次}\\ z_{齐次}\\ w \end{array} \right]= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & d & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1 \end{bmatrix}$

我们引入了一个w来表示这个变换，对于第三行我们知道把齐次坐标转换到三维坐标经过除法w。保留 $z$ 的值用于深度测试。假设缩放到[-1,1](direx3D缩放到[0,1])。
假设近平面n和远平面f。那么z的坐标值分别为-n,-f。 [-n,-f]映射到[-1,1]
透视除法
同样我们采用一个尺度A和平移B变换来表示

⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ x 齐 次 y 齐 次 z 齐 次 w ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 000 0 d 00 00 A - 1 00 B 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ x v y v z v 1 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥

$\left[ \begin{array}{c} x_{齐次}\\ y_{齐次}\\ z_{齐次}\\ w \end{array} \right]= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & A & B \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_v\\ y_v\\ z_v\\ 1 \end{bmatrix}$
即

zndc=Azv+Bw=−A−Bzv $\left.z_{ndc}=\dfrac{Az_v+B}{w}=-A-\frac{B}{z_v}\right.$
把(-n,-1)，(-f,1)带入得到

A = n + f n - f B = 2 n f n - f

$A=\dfrac{n+f}{n-f}\\ B=\dfrac{2nf}{n-f}$
把AB带入公式得到：

M p e r s p e c i t v e = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 000 0 d 00 00 n + f n - f - 1 00 2 n f n - f 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$M_{perspecitve}= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{n+f}{n-f} & \dfrac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$
z映射到[0,1]

M p e r s p e c i t v e = ⎡ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ d a 000 0 d 00 00 f n - f - 1 00 n f n - f 0 ⎤ ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

$M_{perspecitve}= \begin{bmatrix} \frac{d}{a} & 0 & 0 & 0\\ 0 & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & \dfrac{f}{n-f} & \dfrac{nf}{n-f} \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix}$

渲染管线理解2

1 视锥

2 齐次坐标

3 透视投影

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