对数几率回归Logistic Regression（Matlab）

上一篇内容是线性回归，利用线性模型进行回归学习，最终结果是找到一组合适的theta值，使代价函数的值最小，可是对于分类任务该如何解决呢？其实也是希望学习到的也是一组满足这种条件的theta。

先从简单的二分类问题考虑，比如从两门考试的成绩x1,x2，判断录取与否。对于结果y只有两种取值，,录取时y=1,不录取y=0.这时候，如果还像之前那怎样直接相乘算出预测值就不太合适了，因为此时需要把预测值的范围控制在[0,1],想要做到这一点，可以利用sigmoid函数，对数几率函数(logistic function)是sigmoid函数的重要代表。也就是说，要找到一组theta，在预测函数是这个样子的条件下，代价函数值最小。

总的来说，方法没有变，只是改了预测函数的形式。

二分类

data = load('ex2data1.txt');
X = data(:, [1, 2]); y = data(:, 3);
figure; hold on;
pos=find(y==1);
neg=find(y==0);
plot(X(pos,1),X(pos,2),'k+','LineWidth',2,'MarkerSize',7);
plot(X(neg,1),X(neg,2),'ko','MarkerFaceColor','y','MarkerSize',7);
% Labels and Legend
xlabel('Exam 1 score')
ylabel('Exam 2 score')
hold off;
[m, n] = size(X);
% Add intercept term to x and X_test
X = [ones(m, 1) X];
% Initialize fitting parameters
initial_theta = zeros(n + 1, 1);
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, y)), initial_theta, options);
%plot decision boundary
hold on;
if size(X, 2) <= 3
    % Only need 2 points to define a line, so choose two endpoints
    plot_x = [min(X(:,2))-2,  max(X(:,2))+2];
    % Calculate the decision boundary line
    plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x + theta(1));
    plot(plot_x, plot_y)
    % Legend, specific for the exercise
    legend('Admitted', 'Not admitted', 'Decision Boundary')
    axis([30, 100, 30, 100])
else
    % Here is the grid range
    u = linspace(-1, 1.5, 50);
    v = linspace(-1, 1.5, 50);
    z = zeros(length(u), length(v));
    % Evaluate z = theta*x over the grid
    for i = 1:length(u)
        for j = 1:length(v)
            z(i,j) = mapFeature(u(i), v(j))*theta;
        end
    end
    z = z'; 
    contour(u, v, z, [0, 0], 'LineWidth', 2)
end
hold off;

%costFunction.m
function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)
m = length(y); % number of training examples
J = 0;
grad = zeros(size(theta));
h=1.0./(1.0+exp(-1*X*theta));
m=size(y,1);
J=((-1*y)'*log(h)-(1-y)'*log(1-h))/m;
for i=1:size(theta,1),
    grad(i)=((h-y)'*X(:,i))/m;
end
end

二分类的决策边界不总是直线的，这取决于你的假设函数。例如，当给出的训练数据是这样的：

简单的特征x1,x2,就不能满足了，需要做个映射。

这样就可以很好的分类了。

多分类

二分类问题也可以推广到多分类问题，例如有A，B，C三类，可以训练出三组theta，对于theta1，训练数据的结果只有1-->A，0-->B,C,y预测结果也是[0,1],theta2,theta3,也是如此,最终判断归于是哪一类，就取这三个预测结果更大的那一类。就不累述了。

对数几率回归Logistic Regression（Matlab）

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