【Acwing算法题】| 动态规划-数位统计dp-计数问题

题目:

338. 计数问题 - AcWing题库https://www.acwing.com/problem/content/340/

思路分析:

思路是来自acwing y总和Alicia编程果果的代码:

AcWing 338. 计数问题---超短写法 - AcWinghttps://www.acwing.com/solution/content/7128/

根据他们的代码思路我整理了以下的内容:

题目要求求数字i在[1,n]之间的整数中出现的次数.

可以枚举数字 n 的每一位, 当数字i确定在这一位出现的时候, 计算在 [1,n] 之间的所有整数中有多少种可能性并累加.

因此当数字 n 的每一位都枚举过后, 代表数字 i 出现在数字n的每一位时, 在 [1,n] 范围内的整数的所有可能性都累加上了.

比如数字 n 是 abcdefg, 固定数字 i 出现在 d 的位置, 那么所有可能性就是左侧可能性 * 右侧可能性: 

1 <= xxx i yyy <= abc d efg

由题意可知, xxx <= abc, 所以分成以下两个情况讨论: 

(1) xxx = 0 ~ abc -1, yyy = 0 ~ 999 随便取, 可能性 res = abc * 1000, 即左边* 10的(d的位数)次幂

(2) xxx = abc, 此时 d >= i, 分情况讨论:

​    如果d > i, yyy = 0 ~ 999, 随便取, 可能性 res = 1000, 即 10的(d的位数)次幂

​    如果d = i, yyy = 0 ~ efg,  可能性 res = efg + 1, 即右边的数字 + 1

代码:

代码也是根据果果的代码, 添加了注释来帮助复习:

# include <iostream>
# include <cmath>
using namespace std;

int dgt(int n) // 计算整数n有多少位
{
    int res = 0;//存储位数
    while (n) ++ res, n /= 10;//只要不为0 就除10,结果保留的是整数. 最后一次/10是0,跳出循环
    return res;//返回整数n的位数
}



int cnt(int n, int i) // 计算从1到n的整数中数字i出现多少次
{
    int res = 0, d = dgt(n);//res 存储数字i出现的次数, d是整数n的位数
    for (int j = 1; j <= d; ++ j) // 枚举数字n的每一位, 从右到左, 计算数字i出现多少次
    {
        // l和r是数字n第j位左边和右边的整数 (abc和efg); dj是整数n第j位的数字
        int p = pow(10, j - 1), //pow求x的y次幂 用来计算l和r 或者自己写一个power10函数
        l = n / p / 10, r = n % p,
        dj = n / p % 10;//取余数 就是j位的数字
        // 当第j位左边的整数小于l (xxx = 000 ~ abc - 1), 此时 res = 左侧可能性 * 右侧随便取
        if (i) res += l * p;//如果i不为0,左边的可能数量(l)*右边可能性数量(全部), 如果j是4 p就是1000, l*1000
        if (!i && l) res += (l - 1) * p; //如果i = 0, 左边高位不能全为0, (视频中xxx = 001 ~ abc - 1)
        // 当第j位左边的整数等于l (xxx = abc)的情况, 此时 要看第j位数字的大小来计算
        if ( (dj > i) && (i || l) ) res += p;//如果第j位数字dj > i, i和l都不是0, 那么右侧随便取, 可能性就是p
        if ( (dj == i) && (i || l) ) res += r + 1;//如果dj == i, i和l都不是0, 那么能取到j位右侧[0,r]之间所有整数

    }
    return res;
}

int main()
{
    int a, b;//两个整数a 和 b
    while (cin >> a >> b , a) //不断读取输入, 直到输入的a,b是0,0就结束输入
    {
        if (a > b) swap(a, b);//保证a<b
        for (int i = 0; i <= 9; ++ i) //循环i从1到9, i出现的次数是[0,b]之间的i的总数和[0,a-1]间的总数的差
            cout << cnt(b, i) - cnt(a - 1, i) << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

如果pow() 函数不熟悉的话, 可以按照y总解法, 自己写一个power函数, 求10 的 x次方, 调用的时候可以写 int p = power10(j - 1):

int power10(int x) //返回10的x次方
{
    int res = 1;
    while (x--) res *= 10;
    return res;
}