c++动态规划dp算法题

问题1：找硬币，换钱的方法

输入：

penny数组代表所有货币的面值，正数不重复
aim小于等于1000，代表要找的钱

输出：
换钱的方法总数

解法1：经典dp，空间复杂度O（n*aim）

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
        if (penny.empty()||n == 0)
            return 0;
        vector<vector<int> > dp(n,vector<int>(aim+1)); //二维数组dp
        for (int i = 0;i < n;i++) {
            dp[i][0] = 1;
        }
        for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
            dp[0][j] = j%penny[0] == 0?1:0;  //只需要算dp[0][j]
        }   
         
        for (int i = 1;i < n;i++) {
            for (int j = 1;j < aim+1;j++) {
                dp[i][j] = (j-penny[i]) >= 0?(dp[i-1][j] + dp[i][j-penny[i]]):dp[i-1][j];   //这是关键，不用管penny【i】到底使用了几次，直接减去1次使用就好                
            }
        }
        return dp[n-1][aim];
    }
};

　　解法2：与上面的问题一样，只不过在求dp时只使用1维数组来做；使用迭代，时间复杂度一样：

class Exchange {
public:
    int countWays(vector<int> penny, int n, int aim) {
        vector<int> dp(aim + 1);
        for (int i = 0; i <= aim; i++)
            if (i % penny[0] == 0)
                dp[i] = 1;
 
        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = 1; j <= aim; j++)
                if ( j >= penny[i]) //条件，如果不满足就直接等于上轮的结果，不用做修改
                    dp[j] += dp[j - penny[i]];
        return dp[aim];
    }
};

问题2：跳台阶问题：

其实是斐波那契问题，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
	int step;
	while(cin>>step){
		vector<int> dp(2,1); //初始化赋值
		dp[1]=2;
		int temp;
		for(int i=3;i<=step;i++){
			temp=dp[0];
            dp[0]=dp[1];
            dp[1]=dp[1]+temp;
		}
		if(step==1) dp[1]=1;;
		cout<<dp[1]<<endl;
	}
	return 0;
}

　问题3：走矩阵，求路劲最小和，或者是求整个路径

n×m的map，则 f(n,m)=min(f(n-1,m),f(n,m-1))+map[n][m]；

由于这里和问题1类似，可以只用到一个一维数组求解；

class MinimumPath {
public:
    int getMin(vector<vector<int> > map, int n, int m) {
        vector<int> dp(m,0);
        dp[0] = map[0][0];
        for (int i = 1,j = 0;i < m;i++,j++) {
            dp[i] = map[0][i]+dp[j];
        }
         
        for (int i = 1;i < n;i++) {
            dp[0] += map[i][0];     //不能忘了dp[0]的更新
            for (int j = 1;j < m;j++) {
                dp[j] = min(dp[j],dp[j-1])+map[i][j]; //如果求路径，则在这里记录，需要额外存储空间
            }
        }
        return dp[m-1];
    }
};

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