【HUST】代数学｜理想的分解习题

以下内容中，背景知识部分尽数由GPT生成，生成的方式是直接对问题进行提问，存在错误的小节我已经标注，不保证不存在其他错误。

习题部分是GPT生成后，我将看不懂的地方自己重写了一遍的结果。不保证完全正确，正确性受限于我个人的理解能力。

在本次提问中发现GPT存在以下两个问题：

1. 解题逻辑紊乱：它在概念解释方面倾向于自圆其说，证不出来的逻辑它会杜撰一个性质来让证明能够完成。
2. 符号求解倾向于采取前面已经出现过的结果：如它在展开方程式时，如果前一个方程式和后一个方程式相似度较高，它往往会将两个方程式的生成结果直接等同，或将中间计算过程等同，不再进行重新计算。

对于这些问题，我的总结是：

1. 在GPT证明出现较大的跳跃性时，可以将这一部分以及之后的内容认为是错误的，不需要再往下看。只需人工给出这点的证明提示即可让GPT重新生成更正确的证明。
2. 不要信任GPT的第二个及之后的符号求解值，但第一个是可以信任的。或许这个问题可以通过改良Prompt解决。

完整的问答过程可见分享：
https://chat.openai.com/share/36b6e68d-3847-4094-b868-7e7c6b0197aa

如不可发布，请私信联系删除。

背景知识

1 数域、整数环与理想

在代数数论中，表达式 $(1+\sqrt{3})$ 通常表示一个由特定元素生成的理想。在这种情况下，该理想是在代数数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 的整数环 $O_K$ 内生成的。下面是一些关键点来理解这个概念：

1. 代数数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$: 这是包含所有有理数和 $\sqrt{3}$ 的最小的域。它由所有形式为 $a+b\sqrt{3}$ 的数构成，其中 $a$ 和 $b$ 是有理数。

2. 整数环 $O_K$: 在 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 中，整数环 $O_K$ 是由那些具有整数系数的元素组成的。在这个特定的数域中，$O_K$ 通常包含所有形式为 $m+n\sqrt{3}$ 的数，其中 $m$ 和 $n$ 是整数。

3. 理想 $(1+\sqrt{3})$: 当我们提到 $(1+\sqrt{3})$，我们指的是由 $1+\sqrt{3}$ 生成的理想。这个理想包含所有形式为 $a(1+\sqrt{3})$ 的元素，其中 $a$ 是 $O_K$ 中的任何元素。换句话说，这个理想包含所有可以被 $1+\sqrt{3}$ 整除的元素。

理想在代数数论中是一个基本概念，它帮助我们研究和理解数域中的数的结构和属性。特别是在处理数域的因子分解和整数的性质时，理想发挥着关键作用。

2 二次数域和元素的共轭【存在错误，性质杜撰】

理解和证明“由于 $O_K$ 是二次数域，每个元素的共轭也在 $O_K$ 中”这个陈述，涉及到二次数域的定义和元素的共轭概念。以下是详细的解释和证明：

定义

• 二次数域: 二次数域是形式为 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 的数域，其中 $d$ 是一个不是完全平方数的整数。这个域包含所有形式为 $a+b\sqrt{d}$ 的数，其中 $a,b\in \mathbb{Q}$。

• 共轭元素: 对于二次数域中的元素 $a+b\sqrt{d}$，其共轭元素定义为 $a-b\sqrt{d}$。

共轭元素在 $O_K$ 中的存在性

证明：

1. 设 $z=a+b\sqrt{d}$ 是 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的一个元素，其中 $a,b\in \mathbb{Q}$。

2. 那么 $z$ 的共轭元素是 $a-b\sqrt{d}$。

3. 由于 $a,b\in \mathbb{Q}$，那么 $-b$ 也在 $\mathbb{Q}$ 中。

4. 因此，共轭元素 $a-b\sqrt{d}$ 仍然具有形式 $c+d\sqrt{d}$，其中 $c=a$ 和 $d=-b$ 都在 $\mathbb{Q}$ 中。

5. 这表明 $z$ 的共轭元素也在 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中。

6. 如果 $z\in O_K$（即 $a$ 和 $b$ 是整数），则 $a-b\sqrt{d}$ 也具有整数系数，因此也在 $O_K$ 中。

结论：

• 对于二次数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中的任何元素，其共轭元素也在同一数域中。特别是，如果该元素属于整数环 $O_K$，那么其共轭元素也在 $O_K$ 中。

这个证明基于二次数域的结构和共轭的定义，展示了共轭元素在数域和整数环中的存在性。

理想的生成元及其相关性质是代数学中的一个重要概念。以下是对这些概念的解释和讨论，采用 Markdown 格式。

3 理想的生成元定义

定义

• 理想的生成元: 在环 $R$ 中，一个理想 $I$ 的生成元是一组元素 $a_1,a_2,...,a_n\in R$，使得理想 $I$ 包含所有这些元素的线性组合（使用环 $R$ 中的元素作为系数）所能构成的所有元素。如果理想 $I$ 可以由单个元素 $a$ 生成，即所有形式为 $ra$（其中 $r\in R$）的元素构成 $I$，那么我们称 $I$ 是主理想，$a$ 是它的生成元。

生成元相同的理想

• 生成元相同的理想是否相同?: 如果两个理想 $I$ 和 $J$ 在环 $R$ 中有相同的生成元集，那么它们是相同的理想。这是因为理想的定义是关于它的生成元的所有线性组合的集合，如果两个理想有相同的生成元集，那么它们的元素集合必然相同。

例子

• 主理想: 如果一个理想 $I$ 在环 $R$ 中可以由单个元素 $a$ 生成，那么我们表示为 $I=(a)$。这意味着 $I$ 包含所有形式为 $ra$（其中 $r\in R$）的元素。

• 非主理想: 在某些环中，可能存在不能由单个元素生成的理想。例如，在 $\mathbb{Z}[x]$（整数系数的多项式环）中，理想 $(2,x)$ 不能由单个元素生成。

结论

• 理想的定义和性质依赖于其生成元。如果两个理想有相同的生成元集，则它们是相同的理想。然而，理想是否可以由单个元素生成（即是否为主理想）取决于所考虑的环的特性。

这些概念是代数学和数论中的基础，用于理解和操作环和域中的结构。理想的概念特别重要，因为它允许我们研究环的子结构，并在代数数论和代数几何等领域中发挥关键作用。

理解理想 $(1+\sqrt{3})$ 和 $(1-\sqrt{3})$ 及其生成元的本质，是代数数论中的一个重要部分。以下是对这两个理想及其生成元的分析，采用 Markdown 格式。

4 分析理想 $(1+\sqrt{3})$ 和 $(1-\sqrt{3})$【分析过程是废话，并且结论错误】

理想 $(1+\sqrt{3})$

• 生成元: 在数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 的整数环中，理想 $(1+\sqrt{3})$ 由单个元素 $1+\sqrt{3}$ 生成。这意味着理想包含所有形式为 $a(1+\sqrt{3})$ 的元素，其中 $a$ 是整数环中的任何元素。

• 理想的性质: 由于 $(1+\sqrt{3})$ 是一个主理想，它的所有元素都可以表示为 $a+a\sqrt{3}$ 的形式，其中 $a$ 是整数。这些元素构成了理想的整个集合。

理想 $(1-\sqrt{3})$

• 生成元: 类似地，理想 $(1-\sqrt{3})$ 由单个元素 $1-\sqrt{3}$ 生成。它包含所有形式为 $b(1-\sqrt{3})$ 的元素，其中 $b$ 属于整数环。

• 理想的性质: 这个理想包含的元素可以表示为 $b-b\sqrt{3}$ 的形式，其中 $b$ 是整数。这些元素定义了理想 $(1-\sqrt{3})$ 的内容。

比较两个理想

• 相同的生成元？: 虽然这两个理想看起来很相似，但它们的生成元是不同的。一个由 $1+\sqrt{3}$ 生成，另一个由 $1-\sqrt{3}$ 生成。这意味着，尽管它们在形式上相似，但它们包含的元素集合是不同的。

• 理想的等价性: 理想 $(1+\sqrt{3})$ 和 $(1-\sqrt{3})$ 通常不被认为是等价的，因为它们的生成元不相同。然而，在某些情况下，这两个理想可能具有相似的结构属性，这取决于整数环 $O_K$ 的具体性质。

结论

理想 $(1+\sqrt{3})$ 和 $(1-\sqrt{3})$ 分别由不同的元素生成，这导致它们包含不同的元素集合。虽然这两个理想在形式上相似，但它们在结构上是不同的，反映了理想和它们的生成元之间的基本关系。理解这些概念对于深入理解代数数论和环论中的理想理论至关重要。

在环 $O_K$ 中，要找出同时是 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的倍数的元素，我们需要考虑这两个元素的乘积。以下是详细的分析，采用 Markdown 格式。

5 分析在 $O_K$ 中同时为 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的倍数的元素【该分析没有什么用处】

步骤

1. 计算乘积: 考虑 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的乘积，即
   $$(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})=1-(\sqrt{3}{)}^2=1-3=-2$$

2. 乘积的性质: 这个乘积 $-2$ 是 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的公共倍数。因为在乘法中，如果一个数 $a$ 是另一个数 $b$ 的倍数，那么 $b$ 可以表示为 $a$ 乘以某个数。

3. 存在性: 由于 $-2$ 是 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的乘积，它显然是这两个数的倍数。

4. $-2$ 在 $O_K$ 中: 考虑到 $-2$ 是一个整数，而整数环 $O_K$ 包含所有整数，所以 $-2$ 在 $O_K$ 中。

结论

• 在 $O_K$ 中，存在至少一个元素同时是 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的倍数，即 $-2$。
• 由于 $-2$ 是这两个元素的乘积，它必然是它们的公倍数。
• 这个分析显示了在特定环中找到公倍数的一种方法，即通过计算两个数的乘积。

具体元素

• 因此，元素 $-2$ 在 $O_K$ 中，是同时为 $1+\sqrt{3}$ 和 $1-\sqrt{3}$ 的倍数的具体元素。

要理解为什么在 $O_K$ 中没有任何元素可以同时是 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的倍数，我们需要考虑这两个数的乘积，并分析它在整数环 $O_K$ 中的性质。以下是详细分析，采用 Markdown 格式。

6 分析在 $O_K$ 中同时为 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的倍数的元素【证明有误】

步骤

1. 计算乘积: 首先，考虑 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的乘积，即
   $$(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})=16-(\sqrt{3}{)}^2=16-3=13.$$

2. 乘积的性质: 这个乘积 $13$ 是 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的公共倍数。理论上，$13$ 作为它们的乘积，是它们的倍数。

3. 存在性问题: 虽然 $13$ 是这两个数的乘积，但问题在于 $13$ 是否可以表示为 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的形式的线性组合。在 $O_K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 的整数环中，所有元素都可以表示为 $a+b\sqrt{3}$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

4. 表示问题: 要使某个元素同时是 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的倍数，该元素必须可以表示为两个形式的线性组合。换句话说，必须存在整数 $x,y,z,w$ 使得
   $$x(4+\sqrt{3})+y(4-\sqrt{3})=z(4+\sqrt{3})+w(4-\sqrt{3})=13.$$
   但是，这样的整数 $x,y,z,w$ 不存在，因为 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 在整数环 $O_K$ 中不能产生纯整数 $13$。

结论

• 在 $O_K$ 中，虽然 $13$ 是 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的乘积，但没有办法通过整数的线性组合使其同时成为这两个数的倍数。
• 因此，我们可以得出结论，在 $O_K$ 中，没有任何元素可以同时是 $4+\sqrt{3}$ 和 $4-\sqrt{3}$ 的倍数。

这个分析展示了在考虑理想和它们的生成元时，数域的结构特性和线性组合的可能性是至关重要的。

代数整数环是代数数论中的一个核心概念。下面是对这个概念的解释，采用 Markdown 格式。

7 代数整数环的定义

代数整数

• 代数整数: 一个数 $\alpha$ 是代数整数，如果它是某个以有理数为系数的多项式的根，并且这个多项式是首一多项式（最高次项系数为 1）。换句话说，$\alpha$ 满足形如
  $$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0=0$$
  的方程，其中 $a_0,a_1,\dots ,a_{n-1}$ 是整数。

代数整数环

• 代数整数环: 在一个给定的数域（例如，$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$，其中 $d$ 是不是完全平方数的整数）中，所有代数整数的集合形成了一个环。这个环通常表示为 $O_K$，其中 $K$ 是数域。$O_K$ 包含数域 $K$ 中所有的代数整数。

代数整数环的性质

1. 环结构: 代数整数环是一个环，意味着它在加法和乘法下封闭，有加法单位元（0），有乘法单位元（1），并且每个元素都有一个加法逆元。

2. 整性: 代数整数环中的元素是“整的”，这意味着它们满足首一多项式方程。这与有理整数的整性类似，但在更一般的意义上。

3. 例子: 例如，在数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ 中，代数整数环包含所有形式为 $a+b\sqrt{d}$ 的元素，其中 $a$ 和 $b$ 是满足某个首一多项式的整数。

重要性

• 代数整数环在代数数论中非常重要，因为它们提供了研究数域的结构和特性的基础。理解代数整数环有助于深入理解数域的因子分解、理想的结构、以及代数数的算术性质。

这个概念是理解更高级的代数数论和代数几何概念的基础。代数整数环的理论在数学的许多领域中都有应用，特别是在解决与数论相关的问题时。

8 主理想与素理想

这则内容由朋友传授，不是GPT生成。

• 主理想：最小的理想
• 素理想：不能再分解的理想

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习题

习题1

令 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$，试证明在 $O_K$ 中：

1. $(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$
2. $(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$
3. $(33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$
4. $(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$

这个问题涉及到代数数域 $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ 和它的整环 $O_K$ 的理想。我们将逐一证明给定的命题。在以下的证明中，我们会用到代数数论中的基本概念，如理想、范数、共轭元素等。

习题1证明

(1) $(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$

要证明 $(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$，我们需要证明两个理想相等。这意味着我们要证明：

• 任何属于 $(1+\sqrt{3})$ 的元素也属于 $(1-\sqrt{3})$，反之亦然。

证明：

• 对于二次数域中的元素 $a+b\sqrt{d}$，其共轭元素定义为 $a-b\sqrt{d}$。因此 $1+\sqrt{3}$ 的共轭元素是 $1-\sqrt{3}$，并且它们都属于代数整数环 $O_K$。
• 设 $z=x(1-\sqrt{3})$ 是 $(1-\sqrt{3})$ 中的一个元素，其中 $x\in O_K$，即 $x=a+b\sqrt{3},a,b\in Z$。
• 令 $z=(1+\sqrt{3})$，待定系数法求解得到 $a=2,b=-1$ 有整数解，因此 $1+\sqrt{3}\in (1-\sqrt{3})$。
• 类似地，可得$1-\sqrt{3}=(1+\sqrt{3})(-2+\sqrt{3})$，因此 $1-\sqrt{3}\in (1+\sqrt{3})$。
• 由于 $1+\sqrt{3}$ 可以表示为 $(1-\sqrt{3})$ 的倍数，即 $1+\sqrt{3}\in (1-\sqrt{3})$。
  同时，$1-\sqrt{3}$ 也可以表示为 $(1+\sqrt{3})$ 的倍数，即 $1-\sqrt{3}\in (1+\sqrt{3})$。
  因此，每个理想都包含另一个理想的生成元。
• 因此，$(1+\sqrt{3})=(1-\sqrt{3})$。

(2) $(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$

类似上题证法，用待定系数法求解。

证明：

• 设 $(4+\sqrt{3})(a+b\sqrt{3})=4-\sqrt{3}$，$a,b\in Z$，结果是$a=19/13,b=-8/13$，不是整数。
• 因此，$(4+\sqrt{3})\ne (4-\sqrt{3})$。

(3) $(33,7-3\sqrt{3})=(4+3\sqrt{3})$

要证明这个等式，我们需要证明这两个理想中的每个元素都属于对方。

证明：

1. 验证 $(33,7-3\sqrt{3})\subseteq (4+3\sqrt{3})$:

   • 显然 $33=-3(4+3\sqrt{3})(4-3\sqrt{3})$，所以 $33\in (4+3\sqrt{3})$。
   • 接下来，我们需要验证 $7-3\sqrt{3}$ 是否可以表示为 $(4+3\sqrt{3})$ 的整数倍。设 $(4+3\sqrt{3})(a+b\sqrt{3})=7-3\sqrt{3}$，其中 $a,b\in \mathbb{Z}$。
   • 展开并对比系数，我们发现 $a=-5,b=3$ 是整数解。因此，$7-3\sqrt{3}\in (4+3\sqrt{3})$。

2. 验证 $(4+3\sqrt{3})\subseteq (33,7-3\sqrt{3})$:

   • $4+3\sqrt{3}$ 可以被自己生成，所以显然属于 $(4+3\sqrt{3})$。
   • 由于理想 $(33,7-3\sqrt{3})$ 包含 $33$ 和 $7-3\sqrt{3}$，它也包含所有它们的线性组合，即所有形式为 $33x+y(7-3\sqrt{3})$ 的元素，其中 $x,y\in O_K$。
   • 令$4+3\sqrt{3}=33x+y(7-3\sqrt{3})$，解得$x=1/3,y=-1$，可见不是一个有理整数，再考虑是否可能是一个代数整数。
   • 解$4+3\sqrt{3}=33x+y(7-3\sqrt{3})=33(a+b\sqrt{3})+(7-3\sqrt{3})(c+d\sqrt{3})$，求解线性方程组，用sagemath：

     a, b, c, d = var('a b c d')
     eq1 = 33*a + 7*c + 9*d == 4
     eq2 = 33*b + 7*d - 3*c == 3
     solve([eq1, eq2], a, b, c, d)    
     

     得到[[a == -3/11*r1 - 7/33*r2 + 4/33, b == -7/33*r1 + 1/11*r2 + 1/11, c == r2, d == r1]]，显然r1取33、r2取11就有整数解。
   • 因此，$(4+3\sqrt{3})\subseteq (33,7-3\sqrt{3})$。

(4) $(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$

同样，我们需要证明这两个理想相等。

证明：

1. 验证 $(13,7+5\sqrt{3})\subseteq (4+\sqrt{3})$:

   • 显然 $13=(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3})$，所以 $13\in (4+\sqrt{3})$。
   • 设 $(4+\sqrt{3})(a+b\sqrt{3})=7+5\sqrt{3}$，其中 $a,b\in \mathbb{Z}$。
   • 展开并对比系数， $a=1,b=1$ 是整数解。因此，$7+5\sqrt{3}\in (4+\sqrt{3})$。

2. 验证 $(4+\sqrt{3})\subseteq (13,7+5\sqrt{3})$:

   • 为了证明这一点，我们需要表明 $4+\sqrt{3}$ 可以表示为 $13x+y(7+5\sqrt{3})$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 是整数环 $O_K$ 中的元素。
   • 令 $4+\sqrt{3}=13x+y(7+5\sqrt{3})$。我们假设 $x=a+b\sqrt{3}$ 和 $y=c+d\sqrt{3}$，其中 $a,b,c,d\in \mathbb{Z}$。
   • 展开等式，并解线性方程组以找出 $a,b,c,d$ 的值：

     a, b, c, d = var('a b c d')
     eq1 = 13*a + 7*c + 15*d == 4
     eq2 = 13*b + 7*d + 5*c == 1
     solve([eq1, eq2], a, b, c, d)
     

     得到[[a == -15/13*r1 - 7/13*r2 + 4/13, b == -7/13*r1 - 5/13*r2 + 1/13, c == r2, d == r1]]，显然r1取13、r2取13就有整数解。
   • 因此，$(13,7+5\sqrt{3})=(4+\sqrt{3})$。

习题2

令 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$，试在 $O_K$ 中：

1. 求出范为1, 2, 3, 4, 5的全部理想；
2. 求出主理想 $(2),(3),(4),(5)$ 的素理想分解。

习题2证明

要解决这个问题，我们首先需要理解数域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 的整数环 $O_K$ 的结构，然后基于此结构来找出特定范数的理想以及给定主理想的素理想分解。

1. 求出范为 1, 2, 3, 4, 5 的全部理想

在数域 $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ 中，整数环 $O_K$ 是高斯整数环，包含所有形式为 $a+b\sqrt{-1}$ 的整数，其中 $a$ 和 $b$ 是整数。

• 范数的定义: 在这个环中，一个元素 $\alpha =a+b\sqrt{-1}$ 的范数定义为 $N(\alpha )=a^2+b^2$。

• 范为 1 的理想: 范数为 1 的理想只有 $(1)$，即整个环 $O_K$。

• 范为 2 的理想: 范数为 2 的元素有 $\pm 1\pm \sqrt{-1}$，因此范数为 2 的理想包括由这些元素生成的理想。

• 范为 3 的理想: 在 $O_K$ 中没有范数为 3 的元素，因此不存在范数为 3 的理想。

• 范为 4 的理想: 范数为 4 的元素包括 $\pm 2,\pm 2\sqrt{-1}$，因此范数为 4 的理想包括由这些元素生成的理想。

• 范为 5 的理想: 范数为 5 的元素包括 $\pm 1\pm 2\sqrt{-1},\pm 2\pm \sqrt{-1}$，因此范数为 5 的理想包括由这些元素生成的理想。

2. 求出主理想 $(2),(3),(4),(5)$ 的素理想分解

• 主理想 $(2)$: 在 $O_K$ 中，$(2)$ 不是素理想，因为 $(2,1+\sqrt{-1}{)}^2=(4,2\times (1+\sqrt{-1}),2\sqrt{-1})=(2)$，并且 $(2,1-\sqrt{-1}{)}^2=(4,2\times (1-\sqrt{-1}),-2\sqrt{-1})=(2)$，可以看出在 $O_K$ 中 2 与 $(1+\sqrt{-1})$和$(1-\sqrt{-1})$ 互素。而且，$(2)$ 的素理想分解可以是 $(2)=(1+\sqrt{-1})(1-\sqrt{-1})$，所以它可以分解成 $(1+\sqrt{-1})$和$(1-\sqrt{-1})$ 这两个素理想。

• 主理想 $(3)$: 由于 3 在 $O_K$ 中是素数，$(3)$ 自身就是一个素理想。

• 主理想 $(4)$: 这个理想可以分解为 $(2)(2)=(2{)}^2$，即 $(1+\sqrt{-1}{)}^2$$(1-\sqrt{-1}{)}^2$，所以素理想的分解的过程就是$(4)=(1+\sqrt{-1}{)}^2(1-\sqrt{-1}{)}^2$，它可以分解成$(1+\sqrt{-1})$和$(1-\sqrt{-1})$这两个素理想。

• 主理想 $(5)$: 在 $O_K$ 中，$(5)$ 不是素理想，因为显然 $(5,2+\sqrt{-1})\times (5,2-\sqrt{-1})=(25,5\times (2+\sqrt{-1})$，$5\times (2-\sqrt{-1}),4-(-1))=(5)$。而且，$(5)$ 的素理想分解过程是 $(5)=(2+\sqrt{-1})$ $(2-\sqrt{-1})$，所以它可以分解成$(2+\sqrt{-1})$和$(2-\sqrt{-1})$这两个素理想。