如果三点非共线,那么三点必然共面。如果现在有第四点,如何判断这个点跟前三点共面呢?如果有超过四个点,实际上也是从第四个点开始,一个个判断是否跟前三个点共面。
可以使用向量和行列式的方法去计算。
我们先来看行列式的几何意义。对于二阶行列式,它的行向量组成了一个平行四边形,而其值就是平行四边形的面积。
类似的,对于三阶行列式,它的行向量组成了一个平行六面体,而其值就是这个平行六面体的体积。
四个点刚好能形成三个向量,而如果四点不共面,那么这个平行六面体的体积就不会是0。反过来说,如果平行六面体的体积是0,也就是如果行列式为0,那么四点共面。
假设四点坐标为O(x0,y0,z0)、A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)、C(x3,y3,z3),可计算出向量
a=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)=(ax,ay,az)
b=(x2-x0,y2-y0,z2-z0)=(bx,by,bz)
c=(x3-x0,y3-y0,z3-z0)=(cx,cy,cz)
根据上式写出行列式:
最后判断此式是否为0即可。