最近笔试期间遇到一个难题，现在终于解决了，感谢各路大佬的指点，我在这里分享一下结果。
小红拿到一个数列满足：
f(1) = a； f(2) = b； f(i) = f(i-1) * f(i-2) * c^d
题目要求计算出第n项的因子数量，因子数量对 10^9+1 取模。
输入：a, b, c, d, n 5个整数, (1 <= a, b, c, d, n <= 10^12)
例如：输入：1 2 3 4 3
输出：10
解题理论准备：快速幂矩阵、因子与质因子关系
python代码如下：
'''
解题思路：
1、分别算出 a, b, c三个数的质因数；
2、通过快速幂矩阵计算出第n项数据中a、b、c的指数（计算过程中要取模）；
3、结合a、b、c的指数，以及a, b, c三个数的质因数，
来求出第n项数据对应的质因数，以及对应质因数的指数；
4、最后将第n项数据的各个质因数的指数分别+1之后相乘，就得到第n项数据的因子个数。
'''
import time
import numpy as np
def add2dict(dic, n):
if n in dic:
dic[n] += 1
else:
dic[n] = 1
return dic
def primeFactors(num):
factors = {}
i = 2
while i * i <= num:
if num % i == 0:
num //= i
factors = add2dict(factors, i)
else:
i += 1
if num > 1:
factors = add2dict(factors, num)
return factors
# 快速幂矩阵
def matrixFastPower(matrix, power, num_mod):
matrix = np.array(matrix) % num_mod
res = np.eye(matrix.shape[0])
while power:
if power & 1:
res = np.dot(res, matrix) % num_mod
power >>= 1
matrix = np.dot(matrix, matrix) % num_mod
return res
if __name__ == '__main__':
start_time = time.time()
a, b, c, d, n = int(1e12), int(1e12), int(1e12), int(1e12), int(1e12)
# a, b, c, d, n = 1, 2, 3, 4, 6
num_mod = int(10e9 + 7)
if n == 1:
factors_a = primeFactors(a, num_mod)
sum = 1
for i in factors_a:
sum *= (factors_a[i] + 1) % num_mod
elif n == 2:
factors_b = primeFactors(b)
sum = 1
for i in factors_b:
sum *= (factors_b[i] + 1) % num_mod
else:
factors_a = primeFactors(a)
factors_b = primeFactors(b)
factors_c = primeFactors(c)
A = [[0, 1],
[1, 1]]
C = [[0, 1, 0],
[1, 1, 1],
[0, 0, 1]]
A_n = matrixFastPower(A, n - 1, num_mod)
C_n = matrixFastPower(C, n - 1, num_mod)
# a_pow = A^(n-1) * [a(1), a(2)]
a_pow = int(np.dot(A_n, np.array([1, 0]).T)[0]) % num_mod
# b_pow = A^(n-1) * [b(1), b(2)]
b_pow = int(np.dot(A_n, np.array([0, 1]).T)[0]) % num_mod
# c_pow = C^(n-1) * [c(1), c(2), d]
c_pow = int(np.dot(C_n, np.array([0, 0, d]).T)[0]) % num_mod
# print(a_pow, b_pow, c_pow)
for i in factors_a:
factors_a[i] = ((factors_a[i] % num_mod) * a_pow) % num_mod
for j in factors_b:
factors_b[j] = ((factors_b[j] % num_mod) * b_pow) % num_mod
if j not in factors_a:
factors_a[j] = factors_b[j] % num_mod
else:
factors_a[j] = (factors_a[j] + factors_b[j]) % num_mod
del factors_b
for k in factors_c:
factors_c[k] = ((factors_c[k] % num_mod) * c_pow) % num_mod
if k not in factors_a:
factors_a[k] = factors_c[k] % num_mod
else:
factors_a[k] = (factors_a[k] + factors_c[k]) % num_mod
del factors_c
sum = 1
for ix in factors_a:
sum *= (factors_a[ix] + 1) % num_mod
sum %= num_mod
print(sum)
print("Time:", round((time.time() - start_time) * 1000, 2), 'ms')