【GAMES103】基于物理的计算机动画入门（1）前置的基础数学知识

GAMES103: 基于物理的计算机动画入门
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1. 坐标系的划分

在游戏引擎中分为右手和左手坐标系，区分的依据是什么？

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上图可以看到如果是左手坐标系，那么所有的物体都在屏幕后面，意味着x，y，z的值都是正的。

2. Vector Norm

向量的长度就是2-Norm，通常使用Vector Norm来评估向量。

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3. 投影

投影的计算，可以看到投影的长度只和两个向量有关系。

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在游戏引擎中，通常使用投影推出来的Signed Distance，进行碰撞检测的判断。

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4. 叉乘

4.1 三角形的拓扑顺序

叉乘决定了两条边计算的方向，因此在录入三角形的时候，也应该注意三角形边的顺序，也叫做拓扑顺序。

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4.2 Signed Areas和Barycentric Weights

对于2维中，叉乘引出的重心插值。

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对于3维中，可以通过叉乘计算体积，同时叉乘也有相同的规律。

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5. 矩阵的分解

5.1 奇异值分解

矩阵的奇异值分解主要的思想：依据于每一个矩阵都可以通过一个正形进行旋转→缩放→旋转的步骤来得到。

因此U和V都是正交矩阵，用于做旋转操作，而D是对角矩阵，来进行缩放，D中的值也称为奇异值。

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5.2 特征值分解

注意：在计算机物理学中，主要讨论对称矩阵的特征值分解。

特征值的思想：针对于每一个“轴”的指定缩放。

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5.3 LU分解

LU分解的思想：将任何矩阵都能分解为上三角和下三角矩阵的乘积，主要用于求解Ax=b线性方程。

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6. 矩阵正定

矩阵正定的通常判定方法：
（1）判定特征值的正负性
（2）使用对角占优的方法判定正定，注意，对角占优能推出正定，但正定不一定对角占优
（3）正定矩阵必定可逆

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7. 迭代法求解线性系统

主要目的：使 $b-Ax^{[k]}$ 趋近于0，这要求 $1 -$ $\alpha$ $AM^{-1}$ 的谱半径小于1 ，因此M矩阵的不同对应着不同的迭代方法。

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可以把线性系统认为是二次优化问题， $\alpha$ 通常是需要试错的。

迭代法分为：
（1）Jacobi迭代法
（2）Gauss-Seidel迭代法
（3）超松弛（SOR方法）

注意：迭代法求解以后用到会详细说明。

8. 向量的求导

8.1 普通函数对向量x求一阶导

对向量x求一阶导通常用梯度进行表示，意义是最快的增长方向。

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8.2 向量函数对向量x求一阶导

向量函数相当用于就是三个函数拼起来的向量，直接求导即可。

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上图中Jacobian是雅可比行列式，Divergence是散度，如果将 $\bigtriangledown$ 也看作是一个算子，那么做叉乘会得到Curl，即旋度。

8.3 普通函数对向量x求二阶导

二阶导，因为普通函数对向量求一阶导一定得到的是一个向量，再次求导相当于在做Jacobian。

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Hessian（海森矩阵）仅仅是对一阶导的组合，同样的Hessian矩阵的对角叫做Laplacian（拉普拉斯）。

9. 函数对向量参数的泰勒展开

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注意：对于向量的二阶泰勒展开是可以判断正定的，这可以带来很多性质，比如极值等。

10. 对弹簧的受力分析

通过链式法则和物理定律我们能推出弹簧受力时的能量、力和能量的海森矩阵。

10.1 针对于x的Norm的求导

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10.2 单方向弹簧受力

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10.3 双方向弹簧受力

两个方向都有力时，我们将两端的力组合成一个大向量，以相同方式计算即可。

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