第一章 函数
1、实数
众所周知，数的概念充满了我们的生活空间。整数、分数和零统称为有理数。无理数在初等数学中已遇见过。如 \(\sqrt2\)、\(\sqrt3\)、\(π\)、\(lg5\)等等。
一切有理数和无理数统称为实数。实数与数轴身上的点一一对应，而且充满数轴并没有空隙。由此可知，数轴上的每一个点的坐标标识某一个实数；反之，每一个实数必是数轴上某一点的坐标。
2、区间
在某些问题的讨论中，我们往往限制在一部分实数范围内考虑，为了简明地表明部分实数，这里引进区间概念。
定义：区间是介于某两个实数之间的全体实数，并称这两个实数为区间的断点。
区间又分为有限区间和无限区间两大类。
1、有限区间
（1）、开区间
设a、b为两个实数，且\(a < b\),满足不等式 \(a < x < b\) 的一切实数x的全体叫做开区间，记做\((a,b)\).
（2）、闭区间
设a、b为两个实数，且\(a < b\),满足不等式 \(a ≤ x ≤ b\) 的一切实数的全体叫做闭区间，记做\([ a,b ]\).
（3）、半开区间
设a、b为两个实数，且\(a < b\)，满足不等式 \(a < x ≤ b\) 或 \(a ≤ x < b\) 的一切实数x的全体叫做半开区间，分别记做\(( a,b ]\)和\([ a,b)\).
这里还得提及的是，区间两个端点间的距离称为区间的长度。
如上述各个区间的长度均是\(b-a\).
2、无限区间
两端没有限制，即满足不等式 \(-∞ < x < +∞\) 的一切实数构成的区间，记做\((-∞,+∞)\);
左端没有显示，而右端有限制，即满足不等式 \(-∞ < x < b\)或者 \(-∞ < x ≤ b\) 的一切实数构成的区间记做\((-∞,b)\)或\((-无穷大,b]\).
其表示小于或小于等于b的实数的全体。
右端没有限制，而左端有限制，即满足不等式 \(a < x < +∞\)或者 \(a ≤ x < +∞\)的一切实数构成的区间记做\((a,+∞)\)或\([a,+∞)\)
3、邻域
设a与δ是两个实数，且δ>0,满足不等式 \(|x-a|< δ\) 的一切实数x的全体称为点a的δ邻域，并称a为邻域的中心，δ为邻域的半径。由此显然有 \(a-δ < x < a+δ\)
可见，邻域即是以点a为中心，长度为2δ的开区间\((a-δ,a+δ)\).
3、常量和变量
自然现象中，我们常常遇到两种不同的量，一种是在过程的进行中始终保持不变的量，也即保持一定数值的量；还有一种是在过程的进行中不断改变的量，即可取不同数值的量，这两种量即是所谓常量和变量。
定义：在某一过程中数值保持不变的量叫做常量，数值不断变化的称为变量。
一个量是常量还是变量，并不是绝对的，其依赖于研究这个现象的所在场合。如研究一个圆的面积，他的半径r有确定值，那么r是常量。若研究若干个半径不相同的圆的面积时，r即是变量了。
对于量x，其每一个值都是一个数，因此可用数轴上一个点来代表它。如果x是常量，则在数轴上用一个定点来表示，如果x是变量，则在数轴上用一个动点来表示。
4、函数
4.1、函数
自然界中，每一事物的运动都与它周围其他事物相互联系，并相互制约，如圆的面积s依赖于它的半径r，其s与r之间的关系由公式 \(s=πr^2\) 确定。
又如，在自由落体运动中，落下的距离s随时间t在变化，它们的依赖关系用公式 \(s=\frac{1}{2}gt^2\) 来确定，其中g为重力加速度。
在数学中，对于同一变化过程中变量之间的这种确定关系就是所谓函数关系。
定义 设x和y是两个变量，当x在其允许取值范围内取某个特定值时，变量y依赖某种确定的关系也有一个确定的值与之对应。则称y是x的函数。记做 \(y=f(x)\)。其中x叫做自变量，y叫做因变量，自变量x的允许取值范围叫做函数的定义域。 \(f(x)\)也表示与x值相对应的函数值，全体函数值缩成的集体叫做函数的值域。
y是x的函数也可记为 \(y=g(x)\)、\(y=φ(x)\)、\(y=F(x)\)。
4.2、函数的表示方法
表示函数的对应关系可以用各种方式表达出来，通常有解析法、列表法和图像法。
(1)、解析法
解析法即是对两个变量之间的函数关系用解析式子来表示，也即用数学式子来表示。如\(y=2x^2\)、\(y=sinx\)等等，解析法又称为分析法。
(2)、列表法
列表法即是对两个变量之间的函数关系用表格来表示。
(3)、图像法
图像法即是对两个变量之间的函数关系用图像表示。
必须指出的是，两个变量的函数关系不一定由一个解析式给出，对于不同的定义域由不同的解析式给出。如\[y=f(x)=x+1(x<0),0(x=0),x-1(x>0) \]
4.3 复合函数
定义：设y是u的函数\[ y=f(u) \]，而u又是x的函数\[ u=μ(x) \]，则y称为x的复合函数，记作\[ y=f[φ(x)] \]其中u称为中间变量。
通常我们把无中间变量的函数称为简单函数。
5、函数的特征
5.1 函数的单值性和多值性
定义：设有函数\[ y=f(x) \]，若对于自变量x的一个值，因变量y只有一个确定的值与之对应，则称为这种函数为单值函数。否则称这种函数为多值函数。
5.2 函数的奇偶性
定义：对于函数 \[ y=f(x) \] ，若 \[ f(-x)=-f(x) \] 则称该函数为奇函数；若 \[ f(-x)=f(x) \] 则称该函数为偶函数。
显然，偶函数的图形对称于y轴。而奇函数的而图形对称于原点。
5.3 函数的周期性
定义：对于函数\[ y=f(x) \],若存在一实数 T≠0，有 \[ f(x+T)=f(x) \] 则称该函数为以T为周期的周期函数，否则称\[ f(x) \] 为非周期函数。
5.4 函数的单调递减性
定义：对于函数\[y=f(x)\]，若在区间(a,b)内有任意两点\[x_1\]、\[ x_2 \]，当\(x_1\)\(<\)$ x_2 \(时，有\)$ f(x_1)<f(x_2)\[则称该函数在区间(a,b)内为单调增加；当$ x_1$ <$ x_2$时，有\] f(x_1)\[>\] f(x_2)\[则称该函数在区间(a,b)内为单调减少。 显然，单调增加函数即是沿横轴方向上升，单调减少函数即是沿横轴方向下降。 同样，我们可以定义无限区间上的单调增加或单调减少的函数，在整个区间上为单调增加或单调减少的函数称为单调函数。 ### 5.5 函数的有界性 定义：对于函数\] y=f(x)\[，若存在一个正数M，对定义域上的任意x，总有\] |f(x)|≤M\[则称\] f(x)\[为定义域上的有界函数。若这样的数M不存在，则称\] f(x)\[为定义域上的无界函数. ## 6、反函数 定义：对于函数\] y=f(x)\[，若将y当做自变量，x当做因变量，用y写出x的表达式\] x=μ(y)\[叫做\] f(x)\[的反函数，称\] f(x)\[为直接函数。 不难知道反函数的图形与直接函数的图形关于直线\] y=x\[对称。 ## 7、初等函数 ### 7.1 基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数，他们分别为 1、幂函数 \] y=x^μ\[(μ是实数) 2、指数函数 \] y=a^x\[(a>0，a≠1) 3、对数函数 \] y=log_ax\[(a>0,a≠1,,x>0) 4、三角函数 \] y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx\[ 5、反三角函数 \] y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx\[ 此外函数\] y=c\[(c为常数) 称为常值函数，它的图形是平行于x轴的直线。 ### 7.2 初等函数 定义：由基本初等函数经过有限次四则运算以及有限次的符合步骤而构成，并能用解析式子表示的函数都称为初等函数。 最后我们还得指出的是，只有一个自变量的函数称为**一元函数**，有两个或两个以上自变量的函数称为**多元函数**。 # 第二章 极限 ## 1、数列极限 #### 1.1 数列 定义：依照某种规则排列着的一列数$ x_1,x_2,x_3,…,x_n$称为**数列**，记做\{$x_n$\},数列中每一个数叫做数列的项，\] x_n\[叫做数列的一般项。 我们可以把数列\{$x_n$\}中的$x_n$看作自变量为正整数n的一个函数值 \] x_n=f(n),n=1,2,3,...\[，因此，数列也是函数，它的定义域为全体正整数。 #### 1.2 数列极限 对于数列\{$x_n$\}，当n→∞时，$ x_n$能与某一个常数a无限地接近时，这时我们就说数列\{$x_n$\}，当n→∞时的极限为a。 定义：设有数列\{$x_n$\}，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N，使得对于一切n>N时，有\]|x_n-a|<ε\[ 则称a为数列\{$x_n$\}的极限，或说数列收敛于a，记做\] \lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=a\[ \]
\lim_{n\rightarrow+\infty}x_n=a
\[ 或当\]n→∞\[时候，\]x_n→a\[.如果序列没有极限，则说数列是发散的。 数列极限的这种定义叫做数列极限的“ε-N”定义。这里ε是任意给定的正数，它主要用于反映\]x_n\[和常数a的接近程度；N是一个自然数，其与预先给定的ε有关，当ε减小时，一般地说，N将会相应地增大。此外，对于一个ε，与其相应的N并不是唯一的。 **定理1 如果数列\{\]x_n$$}收敛，则其极限是唯一的。**
定理2 如果数列{\[x_n\]}收敛，则其一定是有界的。也即对于一切n(n=1,2,...)，总可以找到一个正数M，使
\[ |x_n|≤M \]
由收敛数列的有界性可推得无界数列一定是发散的，也即无界数列的极限不存在。
2 函数极限
我们知道，数列可以看成是自变量为n的函数
\[ x_n=f(n) \]
数列可以看成是一种特殊类型的函数极限，其自变量n是取正整数离散地无限增大。数列中n只有一种变化趋势，即n→∞.
一般函数\[y=f(x)\]的自变量x是连续变化，其变化趋势有如下两种情形：
（1）、自变量x无限地接近于一个定数\(x_0\),记作\[x→x_0\];
（2）、自变量x的绝对值无限地增大,记作为\[x→∞\].
2.1 \[n→∞\]时函数的极限
对于函数f(x),首先设无论x的绝对值怎样总是有意义的。如果|x|无限增大时，对应的函数值是否无限地接近于某一个常数a，也即当|x|无限增大时，f(x)与某一常数a之差的绝对值可小于预先指定的任意小的正数ε，则此时我们就把a叫做函数f(x)的极限。