【数据结构】二叉树链式结构的相关问题

本篇文章来详细介绍一下二叉树链式结构经常使用的相关函数，以及相关的的OJ题。

1.前置说明

2.二叉树的遍历

1.前置说明

在学习链式二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。

typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
}BTNode;

//创造树节点
BTNode* BuyNode(BTDataType x)
{
	BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return NULL;
	} 
	newnode->data = x;
	newnode->left = newnode->right = NULL;
	return newnode;
}

// 构建二叉树
BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode* node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->Left = node2;
	node1->Right = node4;
	node2->Left = node3;
	node4->Right = node5;
	node4->Left = node6;

	return node1;
}

注意:上述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式后面详解重点讲解。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，二叉树是:

空树
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的。

创建的二叉树图解：

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

2.二叉树的遍历

2.1 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历:

前序遍历(Preorder Traversal亦称先序遍历)――访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

由于被访问的结点必是某子树的根，所以N(Node)、L(Left subtree)和R(Right subtree)又可解释为根、根的左子树和根的右子树。NLR、LNR和LRN分别又称为先根遍历、中根遍历和后根遍历。

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root);
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root);
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root);

三个函数实现起来非常相似，只是访问数据的顺序不同。

具体实现：

// 二叉树前序遍历 
void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root==NULL)
	{
		printf("# ");
		return;
	}
	printf("%c ",root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树中序遍历
void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("#");
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}
// 二叉树后序遍历
void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("#");
		return;
	}
	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

下面主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似，大家可自己动手绘制。

前序遍历递归图解：

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6

中序遍历结果：3 2 1 5 4 6

后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2.2 层次遍历

层序遍历：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

那么我们怎么实现呢？

这里需要使用队列，让根节点先入堆，再出队，出队时让左右子树入堆，空树不进队，按照这个方式可以实现二叉树的层次遍历。

具体实现：这里队列相关函数要自己实现，C++就方便多了，以后会讲。

// 层序遍历
void BinaryTreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	//创建一个队列
	Queue q;
	//初始化队列
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);
		if (front->left)
		{
			QueuePush(&q, front->left);
		}
		if (front->right)
		{
			QueuePush(&q, front->right);
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);
}

3.节点个数相关函数实现

3.1 二叉树节点个数

=左子树的节点数+右子树的节点数+根节点数。根节点数为1。

// 二叉树节点个数
int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	return BinaryTreeSize(root->left) + BinaryTreeSize(root->right) + 1;
}

3.2 二叉树叶子节点个数

=左子树的叶子节点数+右子树的叶子节点数。

// 二叉树叶子节点个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (root->right == NULL && root->left == NULL)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

3.3 二叉树第k层节点个数

=左子树的K-1层节点数+右子树的K-1层节点数。

// 二叉树第k层节点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k > 0);
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) + BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

3.4 在二叉树中查找值为x的节点

=根节点不是，就在左子树和右子树中寻找

//在二叉树中查找值为x的节点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	if (root->data == x)
	{
		return root;
	}
	
	BTNode* left = BinaryTreeFind(root->left, x);
	BTNode* right = BinaryTreeFind(root->right, x);
	return left == NULL ? right : left;
}

4.二叉树基础oj练习

单值二叉树。OJ链接
检查两颗树是否相同。OJ链接
对称二叉树。OJ链接
二叉树的前序遍历。OJ链接
二叉树中序遍历。OJ链接
二叉树的后序遍历。OJ链接
另一颗树的子树。OJ链接

5.二叉树的创建和销毁

二叉树的构建及遍历。OJ链接

5.1 通过前序遍历构建二叉树

通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树，'#'代表空。

代码实现：

//开辟树节点空间
BTNode* BuyNode(char x)
{
    BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
    newnode->data = x;
    newnode->left = newnode->right = NULL;
    return newnode;
}
//构建树
BTNode* CreatTree(char* arr,int*i)
{
    if(arr[*i] =='#')
    {
        (*i)++;
        return NULL;
    }
    BTNode* node = BuyNode(arr[*i]);
    (*i)++;
    node->left = CreatTree(arr,i);
    node->right = CreatTree(arr,i);
    return node;
}

int main() 
{
    char arr[] = "ABD##E#H##CF##G##";
    int i = 0;
    //传递下标的地址，这样就可以通过地址修改下标。
    BTNode* tree = CreatTree(arr, &i);

    return 0;
}

5.2 销毁二叉树

这里是后序思想，先释放左右子树，最后释放根节点。

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
	{
		return;
	}
	BinaryTreeDestory(&((*root)->left));
	BinaryTreeDestory(&((*root)->right)); 
	free(*root);
	*root = NULL;
}

5.3 判断二叉树是否为完全二叉树

这里也是通过队列进行判断，之前层次遍历空树不进队，而这里空树进队，当出队时遇到空时，停止出队，判断队列中是否有非空，如果有就不是完全二叉树。

代码实现：

// 判断二叉树是否是完全二叉树
int BinaryTreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root)
		QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		if (front != NULL)
		{
			QueuePop(&q);
			QueuePush(&q, front->left);
			QueuePush(&q, front->right);
		}
		else
		{
			//遇到空就跳出
			break;
		}
	}

	//检查后面节点有没有非空
	//有非空就不是完全二叉树
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		if (front != NULL) 
			return 0;//不是
	}
	return 1;//是
}

本篇结束！