［数据结构］二叉树的结构及实现

树的概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。
• 因此，树是递归定义的。
  
  

树的相关概念

结点的度：一个结点所含有的子树的个数称为节点的度。如：A的度为6。
叶子结点或终端结点：度为0的结点称为叶子结点。如：B、C…为叶子结点。
非终端结点或分支节点：度不为0的结点。如：D、E、F…为非终端结点。
双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如：A是B的父节点。
孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如：B是A的孩子节点。
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如：B、C是兄弟节点。
树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如：树的度为6。
节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如：树的高度为4。

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    
    
	struct Node* _firstChild; // 第一个孩子结点
	struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
	DataType _data; // 结点中的数据域
};

二叉树的概念及结构

二叉树的概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

• 或者为空。
• 有一个根节点加上两个分别称为左子树和右子树的二叉树组成。
  
  从上图可以看出：
• 二叉树的结点的度不能大于二。
• 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。
  
  

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

特殊的二叉树

• 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2的K次方 ，则它就是满二叉树。
• 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
  

二叉树的性质

1.若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层的最大结点数为$2^{i-1}$个。
2.若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是$2^h$-1个。
3.对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为$n_0$, 度为2的分支结点个数为$n_2$,则有 $n_0$＝ $n_2$＋1。
4.若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=$\log$ 2(n+1)。
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

• 若i>0，i位置节点的双亲序号:(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
• 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子
• 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

二叉树的存储结构

二叉树一般可以用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序结构
   顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。
   
2. 链式结构
   二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址。
   

二叉树的顺序结构及实现

普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
之前的博客写过堆的结构的实现。

二叉树的链式结构及实现

二叉树的链式结构

typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
    
    
	BTDataType data;
	struct BinaryTreeNode* left; // 左孩子
	struct BinaryTreeNode* right; // 右孩子
}BTNode;

二叉树的遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的节点进行相应的操作，并且每个节点只操作一次。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。 遍历是二叉树上最重要的运算之一，也是二叉树上进行其它运算的基础。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。
2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中间。.
3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

二叉树的前中后序遍历

// 二叉树前序遍历
void PreOrder(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return;
	}

	printf("%c ", root->data);
	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
}

// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return;
	}

	PreOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	PreOrder(root->right);
}

// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return;
	}

	PreOrder(root->left);
	PreOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

二叉树的层序遍历

// 层序遍历
void LevelOrder(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
		return;
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
    
    
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);

		if (front->left)
			QueuePush(&q, front->left);
		if (front->right)
			QueuePush(&q, front->right);
	}

	QueueDestroy(&q);
	printf("\n");
}

结点个数及其高度

//计算叶子结点的个数
int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
		return 0;
	else if (root->left == NULL && root->right == NULL)
		return 1;
	else
		return BinaryTreeLeafSize(root->left) + BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

//计算第k层的结点个数
int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return 0;
	}
	if (k == 1)
	{
    
    
		return 1;
	}
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k - 1) 
		+ BinaryTreeLevelKSize(root->right, k - 1);
}

//计算二叉树的深度
int BinaryTreeDepth(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return 0;
	}
	int leftDepth = BinaryTreeDepth(root->left);
	int rightDepth = BinaryTreeDepth(root->right);

	return leftDepth > rightDepth ? leftDepth + 1 : rightDepth + 1;
}

二叉树查找

//二叉树中查找值为x的结点
BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return NULL;
	}
	if (root->data == x)
	{
    
    
		return root;
	}

	BTNode* leftRet = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (leftRet)
		return leftRet;
	BTNode* rightRet = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (rightRet)
		return rightRet;

	return NULL;//左右子树都找不到，返回NULL
}

二叉树的销毁

// 二叉树销毁
void BinaryTreeDestory(BTNode* root)
{
    
    
	if (root == NULL)
	{
    
    
		return;
	}

	BinaryTreeDestory(root->left);
	BinaryTreeDestory(root->right);
	free(root);
}