卷积神经网络（CNN）主要特性有：稀疏连接和权值共享、卷积操作、池化。在前一篇博文中我们已经讨论了稀疏连接和权值共享，在本篇博文中，我们将介绍卷积操作和池化。正是由于对图像进行卷积操作，卷积神经网络才得以其名，可见卷积操作是其核心。在这篇博文中，我们将讨论卷积操作的实现其及物理含义。
首先，我们来了解一下卷积概念。对于一维信号，卷积定义为：
式1
而我们要处理的图像信号，是二维信号，卷积定义为：
式2
我们假设输入层以3*3为接收域，则其上层特征图也应该是3*3。
如下图所示，我们想要求出上一层第k个特征图（3*3），对其中每个节点i,j的值可以用如下公式求出：
式3
在上图中，我们需要求出上一层第0个特征图（0,0）点处神经元的输出值，则可知上式的k=0, i=0, j=0，具体列出式子为：
式4
由上图可知，这里的卷积就是将权值矩阵与图像进行卷积操作，将结果加上上一层对应位置神经元的Bias后再进行一个非线性变换，这里用的是双曲正切函数，即可求出上一层特征图对应位置的神经元输出。
下面来求下一层中第0个特征图中（0,1)位置的神经元输出，如下图所示：
代入式3的公式，可以得出如下的
式5
有了上述的理论基础，让我们看一下，我们对一个原始图像做卷积操作会出现什么结果，在下面的程序中，我们定义图像输入层有3个特征图，上一层有2个特征图，特征图的尺寸为9*9，我们将做完卷积操作后的图像和之前的图像一并显示出来：
import theano
from theano import tensor as T
from theano.tensor.nnet import conv2d
import numpy
from matplotlib import pylab
from PIL import Image
def conv_wky():
rng = numpy.random.RandomState(23455)
input = T.tensor4(name='input')
w_shp = (2, 3, 9, 9)
w_bound = numpy.sqrt(3 * 9 * 9)
W = theano.shared( numpy.asarray(
rng.uniform(
low=-1.0 / w_bound,
high=1.0 / w_bound,
size=w_shp),
dtype=input.dtype), name ='W')
b_shp = (2,)
b = theano.shared(numpy.asarray(
rng.uniform(low=-.5, high=.5, size=b_shp),
dtype=input.dtype), name ='b')
conv_out = conv2d(input, W)
output = T.nnet.sigmoid(conv_out + b.dimshuffle('x', 0, 'x', 'x'))
return theano.function([input], output)
def do_conv():
f = conv_wky()
img = Image.open(open('3wolfmoon.jpg', 'rb'))
img = numpy.asarray(img, dtype='float64') / 256.
img_ = img.transpose(2, 0, 1).reshape(1, 3, 639, 516)
filtered_img = f(img_)
pylab.subplot(1, 3, 1); pylab.axis('off'); pylab.imshow(img)
pylab.gray()
pylab.subplot(1, 3, 2); pylab.axis('off'); pylab.imshow(filtered_img[0, 0, :, :])
pylab.subplot(1, 3, 3); pylab.axis('off'); pylab.imshow(filtered_img[0, 1, :, :])
pylab.show()
if __name__ == '__main__':
do_conv()结果如下所示：
如图所示，可以看出，对于图像进行一次卷积操作，相当于识别出了图像的边缘，我们知道，识别边缘是图像处理的基础操作，因此可以看出卷积操作是有其物理含义的。
我们知道怎么定义卷积操作之后，我们就可以开始实现卷积神经网络（CNN）了。在下一篇博文，我们将讨论怎样使用卷积神经网络（CNN）将MNIST手写数字识别的错误率降低到1%以内，这甚至超过了人类的识别率，足以看到卷积神经网络的巨大威力。