你有一个背包，最多能容纳的体积是V。
现在有n个物品，第i个物品的体积为vivi ,价值为wiwi。
（1）求这个背包至多能装多大价值的物品？
（2）若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？
输入描述：
第一行两个整数n和V，表示物品个数和背包体积。
接下来n行，每行两个数vivi和wiwi，表示第i个物品的体积和价值。
1≤n,V,vi,wi≤10001≤n,V,vi,wi≤1000
输出描述：
输出有两行，第一行输出第一问的答案，第二行输出第二问的答案，如果无解请输出0。
示例1
输入：
3 5 2 10 4 5 1 4输出：
14 9说明：
装第一个和第三个物品时总价值最大，但是装第二个和第三个物品可以使得背包恰好装满且总价值最大。示例2
输入：
3 8 12 6 11 8 6 8输出：
8 0说明：
装第三个物品时总价值最大但是不满，装满背包无解。
分析：对于背包问题，这道题十分重要，分析过程看下图：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int V=1010;//体积
int n=0;
int v=0;
int num[V];//体积
int val[V];//价值
int main()
{
cin>>n;
cin>>v;
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>num[i]>>val[i];
}
int dp[V];
//第一题
memset(dp,0,sizeof dp);//初始化
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v;j>=num[i-1];j--)
{
dp[j] = max(dp[j],dp[j - num[i-1]] + val[i-1]);
}
}
cout<<dp[v]<<endl;
//第二题
memset(dp,0,sizeof dp);
for(int j = 1; j <= v; j++)
dp[j] = -1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v;j>=num[i-1];j--)
{
if(dp[j - num[i-1]] != -1)
dp[j] = max(dp[j],dp[j - num[i-1]] + val[i-1]);
}
}
cout << (dp[v] == -1 ? 0 : dp[v]) << endl;
return 0;
}2.分割等和子集 力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台
给你一个 只包含正整数 的 非空 数组
nums。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。示例 1：
输入：nums = [1,5,11,5] 输出：true 解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。示例 2：
输入：nums = [1,2,3,5] 输出：false 解释：数组不能分割成两个元素和相等的子集。
分析：对于这道题而言，需要解决的问题是如何转化为背包问题，这道题要求分割数组，使两个子数组的大小相等，所以我们可以求出数组元素和，然后除以2，判断是否可以整除，如果不可以，则返回false;可以整除2则适用背包问题：
class Solution {
public:
bool canPartition(vector<int>& nums)
{
int n=nums.size();
int sum=0;
for(const auto& s:nums) sum+=s;
if(sum%2==1)
return false;
sum=sum/2;
//初始化
vector<bool> dp(sum+1);
dp[0]=true;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=sum;j>=nums[i-1];j--)
{
dp[j]=dp[j]||dp[j-nums[i-1]];
}
}
return dp[sum];
}
};3.目标和 力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台
给你一个非负整数数组
nums和一个整数target。向数组中的每个整数前添加
'+'或'-'，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：
- 例如，
nums = [2, 1]，可以在2之前添加'+'，在1之前添加'-'，然后串联起来得到表达式"+2-1"。返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于
target的不同 表达式 的数目。示例 1：
输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3 输出：5 解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。 -1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3 +1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3示例 2：
输入：nums = [1], target = 1 输出：1
分析：
class Solution {
public:
int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target)
{
int sum=0;
int n=nums.size();
//转化为背包问题
for(int i=0;i<n;i++) sum+=nums[i];
if((sum+target)<0||(sum+target)%2) return 0;
sum=(sum+target)/2;
//初始化
vector<int> dp(sum+1);
dp[0]=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=sum;j>=nums[i-1];j--)
{
dp[j]+=dp[j-nums[i-1]];
}
}
return dp[sum];
}
};4.最后一款石头的重量(2) 力扣（LeetCode）官网 - 全球极客挚爱的技术成长平台
有一堆石头，用整数数组
stones表示。其中stones[i]表示第i块石头的重量。每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为
x和y，且x <= y。那么粉碎的可能结果如下：
- 如果
x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；- 如果
x != y，那么重量为x的石头将会完全粉碎，而重量为y的石头新重量为y-x。最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回
0。示例 1：
输入：stones = [2,7,4,1,8,1] 输出：1 解释： 组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]， 组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]， 组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]， 组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。示例 2：
输入：stones = [31,26,33,21,40] 输出：5
分析：
class Solution {
public:
int lastStoneWeightII(vector<int>& stones)
{
int sum=0;
int n=stones.size();
for(int i=0;i<n;i++) sum+=stones[i];
int enquesum=sum;
sum=sum/2;
vector<int> dp(sum+1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=sum;j>=stones[i-1];j--)
{
dp[j]=max(dp[j],dp[j-stones[i-1]]+stones[i-1]);
}
}
return enquesum-2*dp[sum];
}
};