NOI 2.7 7215:简单的整数划分问题 -- O(n^2)动态规划解法

题目来源：http://noi.openjudge.cn/ch0207/7215/

重新做了一遍，写了一个O(n^2)的动态规划解法，原来的动态规划解法是O(n^3)

7215:简单的整数划分问题

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描述

将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。正整数n 的不同的划分个数称为正整数n 的划分数。

输入

标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一个整数N(0 < N <= 50)。

输出

对于每组测试数据，输出N的划分数。

样例输入

5

样例输出

7

提示

5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1

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解题思路

动态规划, 复杂度O(n^2)

dp[i][j](1<=j<=i): 整数i的这样的划分数，其中每个划分中的最大整数<=j

dp[i][j] =dp[i-j][min(j,i-j)] + dp[i][j-1]

dp[i-j][min(j,i-j)]:包括j的划分

dp[i][j-1]: 不包括j的划分

边界dp[0][0] = 1, dp[1][1] = 1, dp[i][1] = 1

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代码

// 动态规划, 复杂度O(n^2)
// dp[i][j] (1<=j<=i): 整数i的这样的划分数，其中每个划分得到的最大整数<=j
// dp[i][j] = dp[i-j][min(j,i-j)] + dp[i][j-1]
// dp[i-j][min(j,i-j)]: 包括j的划分
// dp[i][j-1]: 不包括j的划分
// 边界dp[0][0] = 1, dp[1][1] = 1, dp[i][1] = 1

#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;

const int NMAX = 55;
int dp[NMAX][NMAX] = {};

int main()
{
	int n,i,j;
	while (cin >> n)
	{
		for (i=0; i<NMAX; i++)
		{
			memset(dp[i], 0, sizeof(dp[i]));
		}
		if (n==1)
		{
			cout << 1 << endl;
			continue;
		}
		dp[0][0] = 1;
		dp[1][1] = 1;
		for (i=2; i<=n; i++)
		{
			for (j=1; j<=i; j++)
			{
				if (j==1)
				{
					dp[i][1] = 1;
				}
				else if (j<=i)
				{
					dp[i][j] = dp[i-j][min(j,i-j)] + dp[i][j-1];
				}
			}
		}
		cout << dp[n][n] << endl;
	}
	return 0;
}