整数划分问题 动态规划

ACM，OI等比赛，整数划分为常见的入门题，许久没打比赛，最近做笔试题突然碰到，磕磕绊绊了很久才搞清楚，现在做个笔记。

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题目可见hduoj1028 , 简单的讲：

数字N，整数划分的组合数为多少。整数划分表示正整数的和集为N，比如N=4时：

  4 = 4;
  4 = 3 + 1;
  4 = 2 + 2;
  4 = 2 + 1 + 1;
  4 = 1 + 1 + 1 + 1;

有这5中情况，所以N=4的整数划分的组合数为5。

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解题，开始DP，先对DP进行状态的设计：

思考的第一步： 考虑到是组合，不能出现重复的情况，比如4=3+1与4=1+3是一种，所以采用“划分数中的最大值”来限定重复状态。

思考的第二步：状态设计：dp[n][n]表示“和为n、最大划分数为m”时，组合的数量。

思考的第三步：状态转移：由划分数中是否包含m分为两种状态，当前组合数等于这两种状态下的组合数之和。

1. n=1时，无论m等于多少，都只有一种{1}的划分，dp[1][m] = 1
2. m=1时，无论n等于多少，都只有一种{1,1,1,,,,,,}的划分，dp[n][1] = 1
3. n==m时，分两种情况，dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]：
1. 划分数中包含m时，只有一种{m}
2. 划分数中不包含m时，那最大值只能是m-1，为dp[n][m-1]
4. n>m时，m最大也只能取n，dp[n][m] = dp[n][n]
5. n<m时，分两种情况，dp[n][m] = dp[n-m][m] + dp[n][m-1]:
   1. 划分数中包含m时，最后一个划分数必须为m（前面也可以有m）sum{........m}=n，dp[n-m][m]
   2. 划分数中不包含m时，那最大划分数只能是m-1，dp[n][m-1]

递归比较方便，先放记忆化递归的代码：

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 128;
int dp[MAXN][MAXN] = {0};
int DP(int n, int m)
{
    // 不合法情况
    if (n <= 0 || m <= 0) return 0;

    // 记忆化
    if (dp[n][m] > 0) return dp[n][m];

    // 1. n=1只有一种{1}; 
    // 2. m=1只有一种{1,1,1,,,,,,}
    if (n == 1 || m == 1) return dp[n][m] = 1; 

    // 1. 包含m只有一种{m}
    // 2. 不包含m, dp[n][m-1]
    // n==m,这两种情况为所有情况
    if (n == m) return dp[n][m] = 1 + DP(n, m - 1);

    // m最大也只能是n
    if (n < m)  return dp[n][m] = DP(n, n);

    // 1. 包含m, 将最后一个数定为m, dp[n-m][m]
    // 2. 不包含m, 最大的数为m-1, do[n][m-1]
    // n>m,这两种情况为所有情况
    if (n > m)  return dp[n][m] = DP(n - m, m) + DP(n, m - 1);

    // 不合法情况
    return dp[n][m] = 0;
}
int main()
{
    int n;
    while (cin >> n) {
        cout << DP(n, n) << endl;
    }
    return 0;
}

DP递推版

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 128;
int dp[MAXN][MAXN] = { 0 };
void init(int maxn)
{
    for (int n = 1; n <= maxn; n++) {
        for (int m = 1; m <= maxn; m++) {
            
            // n=1时，无论m等于多少，都只有一种{1}的划分，dp[1][m] = 1
            // m = 1时，无论n等于多少，都只有一种{ 1,1,1,,,,,, }的划分，dp[n][1] = 1
            if (n == 1 || m == 1) dp[n][m] = 1;

            // n==m时，分两种情况，dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]：
            //  1. 划分数中包含m时，只有一种{ m }
            //  2. 划分数中不包含m时，那最大值只能是m - 1，为dp[n][m - 1]
            else if (n == m) dp[n][m] = 1 + dp[n][m-1]; 

            // n>m时，m最大也只能取n，dp[n][m] = dp[n][n]
            else if (n < m)  dp[n][m] = dp[n][n];

            // n<m时，分两种情况，dp[n][m] = dp[n-m][m] + dp[n][m-1]:
            //  1. 划分数中包含m时，最后一个划分数必须为m（前面也可以有m）sum{........m}=n，dp[n-m][m]
            //  2. 划分数中不包含m时，那最大划分数只能是m-1，dp[n][m-1]
            else if (n > m)  dp[n][m] = dp[n - m][m] + dp[n][m - 1];
        }
    }
}
int main()
{
    init(120);

    int n;
    while (cin >> n) {
        cout << dp[n][n] << endl;
    }
    return 0;
}

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现在考虑一些更加复杂的情况

 http://bailian.openjudge.cn/practice/4119?lang=en_US

https://vjudge.net/problem/OpenJ_Bailian-4119

第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目

具体举例：对于N=5，K=2

第一行: 4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1

#include<iostream>
using namespace std;
const int MAXN = 55;

int dp1[MAXN][MAXN] = { 0 };
void init1(int maxn)
{
    // DP状态设计，dp[n][k]表示数字n，被划分成k个数的组合情况数,初始化为0
    // 定下了K个数，那么以这K个数中包不包括1分为两个情况，这样都能做状态转移
    for (int n = 1; n <= maxn; n++) {
        for (int k = 1; k <= maxn; k++) {

            // 1. k=1时只有一种,{n}
            // 2. k=n时只有一种,{1,1,1,,,,,,}
            if (k == 1 || k == n) dp1[n][k] = 1;

            // 1. 这k个数字中没有1, dp[n-k][k]为每个数字减1的情况数
            // 2. 这k个数字中有1, dp[n-1][k-1]该情况下加上数字1
            if (n > k) dp1[n][k] = dp1[n - k][k] + dp1[n - 1][k - 1];

            // n < k 为0
        }
    }
}

int init2(int maxn)
{

}

int main()
{
    init1(50);

    int n, k;
    while (cin >> n >> k) {
        cout << dp1[n][k] << endl;
    }
    return 0;
}

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