题目来源：http://noi.openjudge.cn/ch0207/7219/
7219:复杂的整数划分问题
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描述
将正整数n 表示成一系列正整数之和，n=n1+n2+…+nk, 其中n1>=n2>=…>=nk>=1 ，k>=1 。
正整数n 的这种表示称为正整数n 的划分。
输入
标准的输入包含若干组测试数据。每组测试数据是一行输入数据,包括两个整数N 和 K。
(0 < N <= 50, 0 < K <= N)
输出
对于每组测试数据，输出以下三行数据:
第一行: N划分成K个正整数之和的划分数目
第二行: N划分成若干个不同正整数之和的划分数目
第三行: N划分成若干个奇正整数之和的划分数目
样例输入
5 2
样例输出
2
3
3
提示
第一行:4+1, 3+2,
第二行: 5，4+1，3+2
第三行: 5，1+1+3， 1+1+1+1+1+1
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解题思路
动态规划
1. k个正整数和
dp[i][j]: i的j个正整数划分数, dp[i][j] =dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1]
dp[i-j][j]: i-j的j个正整数划分上每个正整数+1;
dp[i-1][j-1]: i-1的j-1个正整数划分再添上一个1
// 超级巧妙的思路哇~
2. 不同整数和
dp[i][j](1<=j<=i): 整数i的这样的划分数，其中每个划分得到的最大整数为j
dp[1][1] = 1
dp[i][j] =sum(dp[i-j][k]), 2<=k<j, whenj<i
dp[i][j] = 1, when i==j
3. 正奇数和
dp[i][j]: 正整数i的这样的划分数，使得每个划分中最大的正奇数为j
dp[i][j] =dp[i-j][k], 1<=k<=j, k是正奇数
// 2. 和 3. 都是在NOI 2.7 7215:简单的整数划分问题的基础上的一点小改动
// 2. 就是求和的时候k必须小于j，不能等于j，且k要从2开始遍历
// 3. 就是j、k都是奇数
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代码
// 动态规划
// 1. k个正整数和
// dp[i][j]: i的j个正整数划分数, dp[i][j] = dp[i-j][j]+dp[i-1][j-1]
// dp[i-j][j]: i-j的j个正整数划分上每个正整数+1;
// dp[i-1][j-1]: i-1的j-1个正整数划分再添上一个1
// 2. 不同整数和
// dp[i][j] (1<=j<=i): 整数i的这样的划分数，其中每个划分得到的最大整数为j
// dp[1][1] = 1
// dp[i][j] = sum(dp[i-j][k]), 2<=k<j, when j<i
// dp[i][j] = 1, when i==j
// 3. 正奇数和
// dp[i][j]: 正整数i的这样的划分数，使得每个划分中最大的正奇数为j
// dp[i][j] = dp[i-j][k], 1<=k<=j, k是正奇数
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
const int NMAX = 55;
int dp[NMAX][NMAX] = {};
void clearDP() // 清零dp数组
{
int i;
for (i=0; i<NMAX; i++)
{
memset(dp[i], 0, sizeof(dp[i]));
}
return;
}
int max_odd(int i) //返回小于等于i的最大正奇数
{
if (i%2==1)
{
return i;
}
else
{
return (i-1);
}
}
int main()
{
int n,k,i1,i2,i3,ans2,ans3;
while (cin >> n >> k)
{
if (n==1)
{
cout << 1 << endl << 1 << endl << 1 << endl;
continue;
}
ans2 = 0;
ans3 = 0;
// 1. k个正整数和
clearDP();
dp[1][1] = 1;
for (i1=2; i1<=n; i1++)
{
for (i2=1; i2<=k; i2++)
{
if (i2<=i1)
{
dp[i1][i2] = dp[i1-i2][i2] + dp[i1-1][i2-1];
}
}
}
cout << dp[n][k] << endl;
// 2. 不同的正整数和
clearDP();
dp[1][1] = 1;
for (i1 = 2; i1 <= n; i1++)
{
for (i2 = 2; i2<i1; i2++)
{
for (i3 = 1; i3 < i2; i3++)
{
dp[i1][i2] += dp[i1-i2][i3];
}
}
dp[i1][i1] = 1;
}
for (i1=1; i1<=n; i1++)
{
ans2 += dp[n][i1];
}
cout << ans2 << endl;
// 3. 正奇数和
clearDP();
dp[1][1] = 1;
for (i1=2; i1<=n; i1++)
{
for (i2=1; i2<=max_odd(i1); i2=i2+2)
{
for (i3=1; i3<=i2; i3=i3+2)
{
dp[i1][i2] += dp[i1-i2][i3];
}
}
if (i1==max_odd(i1))
{
dp[i1][i1] = 1;
}
}
for (i1=0; i1<=n; i1++)
{
ans3 += dp[n][i1];
}
cout << ans3 << endl;
}
return 0;
}