二分图与匹配

定义二：任意一条边都与其对应点子集有重合

性质1：最大匹配=无可增广轨道，必要性易证

G中关于M的可增广轨道定义：
v0e1v1e2v2…e(2k+1)v(2k+1),v0&v(2k+1) $\notin$ M(未被M许配),e1_{e(2k+1)$\notin$M,e2}e(2k) $\in$ M

假设还有更大匹配M‘，**M异或M’**中deg(v) $\in$ {1,2},只有4中情形，

又要符合匹配数之差=1，必有可增广轨道，paradox~

如何取得可交错轨道？

性质2：二分图存在完备匹配 $\iff$ |N(S)|>|S|

设u未被最大匹配匹配，Z=与u有交错轨道的点集，

S=X∩Z,T=Y∩Z,(为取连通分支), 设u与y1相邻，则y1与x1匹配，

(1)N({u,x1})>1,还有y2与u或x1相邻，递推，必得可增广轨道

(2)因为连通二分图无增广轨道，必有|S|=|T|+1,矛盾

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定义二：每条边都有一个端点属于集合C的 $min ∣ C ∣$

性质1：M为覆盖，C为匹配，|M| $\leq$ |C|

性质2：若|M*|=|C*|,C为最小覆盖，M为最大匹配

性质3：二分图的|M*|=|C*|

证明：若将所有顶点相配，√

条件：最大匹配，无增广轨道

目标：|覆盖集|=匹配数，若反证，假设|最小覆盖集|>匹配数；2. 找到一个|覆盖集|=匹配数

有顶点(在两端)剩余，在X中未将U匹配，由于为二分图，令Z为与U有交错轨道的顶点集，

S=X∩Z，T=Y∩Z，其中S-U $\subseteq$ M,T-U $\subseteq$ M,

(X-S)UT为覆盖集，否则N(S)>T,矛盾

U是未匹配集，因为M是最大匹配集/(无可增广轨道uie1ti)在Y中每一邻点都是匹配边，否则可获得更大的匹配集，与U相连的都是匹配边端点T’，T‘在M∩Y中的点和T’构成T，所以T中的顶点全被相配

|M|=|T|+|X-S|,Y中顶点在T中的匹配为|T|,不在T中的被X-S相配，为|X-S|,

如果X-S中与T相配，X-S与U相连

性质4：普通G有完备匹配 $\iff$ o(G-S) $\leq$ |S| $\rightarrow$ peterson定理：无桥三次正则图有完备匹配

反证法可证 $\exists$ G’，G’无完备匹配； $\forall$ e，G’+e有完备匹配，

设U={v|v $\in$ G’,deg(v)=|G’|-1},G-U的奇片为G1,G2,…,Gi为完全图，

否则Gi非完全图，反证法易证存在x,y,z $\in$ Gi,xy,yz $\in$ Gi,xz $\notin$ Gi,

又 $\because$ deg(y)<n-1, $\therefore$ $\exists$ yw $\notin$ Gi.设G’=Gx+xz,Gy=G’+yw的两个最大匹配分别为M1,M2，

考虑Gx异或Gy,想得到更大的匹配必然要处理不同的边，相同的边保留较为简单

每个点分别连接Gx，Gy中一边，每个连通分支Hi均为偶圈，