LC309
背景
这个题目纠结了很久，看了很多题解思路，都有没解释清楚的地方
最后终于找到了一个能把思路讲清楚的（听起来没有任何漏洞的）：
其他的题解可能答案也是对的，但是省略了一些必要的说明，导致理解起来有gap
太不容易了
可能题目本身也有没说的特别清楚的地方。这里补充一下：
对中间的某一天而言，是否存在除了：买入 ／ 卖出 ／ 冷冻期 之外的第四种情况——无操作？
答案是：可以存在。
思路
然后说一下本题的解题思路：
大致就是按照【第i天是否持有股票】分情况讨论，然后使用动态规划。关键在于分情况讨论，要足够清楚！！
两个约束条件：
- 买入之后必须先卖出之后才能继续买入
- 卖出之后不能马上买入，至少冷冻一天（也可以冷冻一天之后继续不买入，相当于冷冻多天！！！）
分情况讨论
# 步骤1: 考虑第 i 天，总共存在两种状态：持有股票 ／ 不持有 股票，分别记做 dp[i][0]，dp[i][1]。i=0时，对应的利润分别为：-prices[0]、0
dp[i]表示第i天的最大利润，dp[i] = max(dp[i][0],dp[i][1])
# 步骤2: 根据第i天的状态，考虑第 i-1天从什么状态 转换得到 第 i天的状态
对于 dp[i][0] 再分两种情况：
1）第i-1天不持有（冷冻期／无操作），注意！！此时第i-2天肯定是不持有，否则要么变成2)的情况重复考虑，要么在i-1天卖出，导致第i天处于冷冻期而无法持有（不能得到dp[i][0]的状态）
2）第i-1天持有 【第i-2天可以不持有，也可以不持有】
对于 dp[i][1] 也分两种情况：
3）第i-1天持有，第i天卖出【第i-2天可以持有，也可以不持有】
4）第i-1天也不持有，第i天无操作【第i-2天可以持有，也可以不持有】
为什么其他3种情况：2）、3）、4）不考虑第i-2天的情况？？
因为其他三种情况对第i-2天没有要求！
合法的状态流转顺序包括：
2）持有／不持有->持有->持有；
3）持有／不持有->持有->不持有；
4）持有／不持有->不持有->不持有；
唯一不合法的是：持有 -> 不持有 -> 持有 ，对应情况1）！！！
所以情况1肯定是：不持有->不持有->持有
上述四种情况分别对应的状态转移方式和对应的第i天的利润分别为：
1）dp[i-1][1] -> dp[i][0]，dp[i-2][1]-prices[i] # 注意这里需要考虑第i-2天的约束！！而不是 dp[i-1][1]-prices[i]
2）dp[i-1][0] -> dp[i][0]，dp[i-1][0]
3）dp[i-1][0] -> dp[i][1]，dp[i-1][0]+ prices[i]
4）dp[i-1][1] -> dp[i][1]，dp[i-1][1]
代码
class Solution:
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
n = len(prices)
if n < 2: return 0
dp = [[0,0] for _ in range(n)]
# dp[0][0]表示持有，dp[0][1]表示不持有
dp[0][0] = -prices[0]
dp[0][1] = 0
# 因为下标从2开始，所以需要计算下标为0和1处的初始值，for循环从2到n-1
# 另一种写法是：数组长度设为n+1，只计算下标为1的初始值，for循环从2到n。减少了初始值计算但是可读性没有前一种强
dp[1][0] = max(dp[0][1]-prices[1], dp[0][0])
dp[1][1] = max(dp[0][0]+prices[1], dp[0][1])
for i in range(2,n): # 注意i-2，需要从2开始循环
dp[i][0] = max(dp[i-2][1]-prices[i],dp[i-1][0])
dp[i][1] = max(dp[i-1][0]+prices[i],dp[i-1][1])
# print(dp)
return dp[n-1][1]
总结
解题的关键点：
- 中间的一天可以有四种状态：买入、卖出、冷冻期、无操作，而不是三种
- 仅按照 持有 和 不持有 两种情况去确定每一天的状态，没有其他情况。其中持有内在的包含了：买入、继续持有（无操作）；不持有包含了：卖出、继续不持有（无操作）、冷冻期。只按照前述两种状态划分使问题更加简化，避免了同时考虑所有情况导致思路错乱
- 在状态转移：考虑从第i-1天状态转移到第i天的时候，需要特别考虑：从第i-1天不持有转移到第i天持有的情况，这种情况要求第i-2天也不持有。其他三种状态转移，都对第i-2天的状态没有要求
- for循环递推状态的时候，需要注意边界处理（从第2天开始），初始值（第0天和第1天）的计算。
- 最后一天肯定是不持有的，否则无法获得最大利润