动态规划的入门理解&例子（LIS、最小编辑距离）

关于动态规划的讲解有很多材料，这里只是按照我自己的理解来表述动态规划。可能并不详细，也不一定完全准确。这里主要通过两个例子LIS和最小编辑距离进一步加深对于动态规划的直观理解。

1. 动态规划入门理解

• 动态规划方法是把问题向前分解，想要解决一个问题，需要先解决这个问题的子问题，那么要解决子问题，有需要解决子问题的子问题。通过先解决最小的子问题，再不断的解决更上一层的问题，那么就可以解决最终的问题。

• 欲用动态规划解决问题，首先需要对问题进行定义，利用数学语言描述问题。然后再对问题进行求解，求解的过程中是先求解小问题，再利用小问题的解去求解大问题。这是动态规划中常用的流程。

• 对问题的定义和求解小问题再求解大问题，其实就是定义状态和解决状态转移。下面就用两个例子（LIS和最小编辑距离）来解释如何定义问题的状态以及推导状态转移公式。

2. LIS（最长递增子序列）

• LIS问题是求一个长序列的子序列，使的这个子序列是递增的，且是所有递增的子序列中最长的。比如对于序列2 5 4 9 10 6 7 8 11，最长递增子序列有两个，2 5 6 7 8 11和 2 4 6 7 8 11。最长递增子序列问题有时候是只需要知道长度即可，对于前面的序列，最长递增子序列的长度是唯一的，即=6。

• 当然LIS问题是可以用动态规划的思想来解决的。那么首先思考如何定义问题的状态。最容易想到的定义如下：

$d_k$: 表示序列前k项的最长子序列

• 对于这个定义，很明显，子问题就是$d_{k-1}$,$d_{k-2}$等，分别表示前$k-1$ 和前 $k-2$ 项的最长子序列。对问题进行定义后，是否合适呢？能否通过该定义推导出状态转移呢？如果对于每一项都求最长的子序列，并且状态转移使用$a_k$ 项和其它的最长子序列相比较的方式，选择是否把$a_k$ 项加入。

• 对于序列2 5 4 9 10 6 7 8 11

第一项：2
第二项：2 5
第三项：2 5
第四项：2 5 9
第五项：2 5 9 10
第六项：2 5 9 10
第七项：2 5 9 10
….

从这里就可以看出来，该种状态的定义和状态转移的定义是有问题的。6 7 8 这几项不能发挥作用了。

• 因此这里选择另外一种定义：

$d_k$: 表示以第k项结尾的最长子序列

• 那么求出所有以1,2,3,4,5…,N项结尾的最长子序列后，选择最长的作为输出即可。那么对于这种状态的定义，状态的转移是什么样子的呢？

$$\begin{equation*} h_i= \left\{ \begin{array}{lr} [d_i, a_k], if \quad a_k > a_i \\ \\ a_k, other \end{array} \right. \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} d_k = h_{argmax_{i} len(h_i)} \end{equation*}$$

也就是，求解序列[$a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_k$]的最长递增子序列，可以通过[$a_1$, $a_2$, $a_3$, … $a_{k-1}$]序列、[$a_1$, $a_2$, $a_3$, … $a_{k-2}$]、[$a_1$, $a_2$]和[$a_1$]的最长递增子序列得到。要求长度为k的序列的[$a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_k$]最长递增子序列，需要先求出序列[$a_1$, $a_2$, $a_3$, …, $a_{k-1}$]中以各元素($a_1$,$a_2$,$a_{k-1}$)作为最大元素的最长递增序列，然后把所有这些递增序列与$a_k$比较，如果序列的末尾元素比$a_k$要小，则将元素$a_k$加入这个递增子序列，如果序列末尾的元素比$a_k$大，则取$a_k$，那么现在所有的序列都是以$a_k$ 结尾的，取出序列长度最长的作为以第k项结尾的最长递增子序列。（这里可能会出现两个序列长度一样的情况，那么可以随机选一个，或者是选择第一个）。

• 对于前面的序列2 5 4 9 10 6 7 8 11，求解顺序如下（存在两个一样长的序列时，选择第一个）：

第一项：2
第二项：2 5
第三项：2 4
第四项：2 5 9
第五项： 2 4 9 10
第六项：2 5 6
第七项：2 5 6 7
第八想：2 5 6 7 8
第九项：2 5 6 7 8 11

• 另外，如果是求子序列，那么是一边计算，也是一边需要保存各项的子序列的。如果是只求子序列的长度，那么只需要保存长度即可。

• 采用这种方式求解最长递增子序列，时间复杂度为$O(N^2)$，还有更快的，时间复杂度为$O(NlogN)$ 的算法，这里就不再解释了。

3. 最小编辑距离

• 最小编辑距离的问题，比较普遍，在平常的编码过程中经常可能会遇到这个问题。最小编辑距离是指把字符串A转换成字符串B所需要的最少操作数，这里的操作包括删除字、增加字、替换字三种操作。

• 比如小明让小红告诉小刚：“今天天气真好啊”，而小红却告诉小刚：“今天正好呀哈”。 那么就可以用最小编辑距离表示这两句话的区别。这里，增加“天”字，增加“气”字，修改“正”为“真”，修改“呀”为”啊”，删除“哈”字。那么最小编辑距离为5。

• 要用动态规划的思想解决该问题，同样需要考虑如何定义状态和建立状态转移公式。

首先对问题进行定义：

$d_{i,j}$: 表示从句子A的前i个字转移到句子B的前j个字的最小编辑距离

状态转移公式如下(假设句子A有N个字符，而句子B有M个字符)：

$$\begin{equation*} d_{i,j}= \left\{ \begin{array}{lr} j, \quad if (i = 0, j= 0,1,2,3,...,M) &\\ i, \quad if(j = 0, i = 0,1 ,2 ,3, ..., N) \\ \max(d_{i-1,j}+1, d_{i,j-1} +1, d_{i-1,j-1} + issame) \quad i=1,2,3,...,N, j= 1,2,3,...,M \end{array} \right. \end{equation*}$$
其中 $$\begin{equation*} issame = \left\{ \begin{array}{lr} 1, if A[i] != B[j]\\ 0, if A[i] == B[j]\\ \end{array} \right. \end{equation*}$$

更详细的最小编辑距离算法的说明，可以参考博客https://blog.csdn.net/qq_34552886/article/details/72556242