材料力学求解器-刚架与桁架杆系的计算机求解（附matlab代码）

材料力学是一门非常成熟的学科，里面有大量的已经成熟的计算方法、计算模型。然而在掌握了基本原理之后，求解问题的主要时间都花在了计算上面。这时，则完全可以利用计算机采用数值方法进行快速求解。

本文的参考文献很简单，就是 单辉祖 编写的 材料力学第3版下册（或者说是第II册），第18章的内容。

还是惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。

1 刚架的计算机求解

1.1位移法与刚度矩阵

计算机求解刚架的原理主要是位移法和刚度矩阵。
基本思路为：

1 定义划分单元与节点
2 列出每个节点的载荷F
3 求解每个单元的刚度矩阵Km
4 把所有单元的刚度矩阵相加，得到总的刚度矩阵K
5 利用位移法与胡克定律F=K*D，求解出位移D
6 根据位移，反推出其余受力

以书上的例18-4，举例说明

1 定义划分单元与节点

上面的刚架，可以很轻易的划分出单元与节点，包含4个节点与3和单元。此外，刚度矩阵的方法要求把受力点算作节点。

2 列出每个节点的载荷F

对于刚架来说，每个节点受力包含Fx、Fy、Me三个力。所以F是一个3*4=12个元素的列向量。
外加的力载荷只有2号节点处的三个力。所以，列向量F可以写作：
$${\left[\begin{array}{cccccccccccc}0& 0& 0& Fx& -Fy& -Me& 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]}^{\prime }$$
这里’代表转置。
外加力的方向定义为与x、y轴方向相同为正。力矩定义为逆时针为正。

3 求解每个单元的刚度矩阵Km
首先是局部坐标系下，列出刚度矩阵
之后，以③号单元为例，3号单元的两个节点分别为i=2和j=4。
单独某个单元的刚度矩阵Km如下：
$$\left[\begin{array}{cccccc}\frac{EA}{L}& 0& 0& -\frac{EA}{L}& 0& 0\\ 0& \frac{12EI}{L^3}& \frac{6EI}{L^2}& 0& -\frac{12EI}{L^3}& \frac{6EI}{L^2}\\ 0& \frac{6EI}{L^2}& \frac{4EI}{L}& 0& -\frac{6EI}{L^2}& \frac{2EI}{L}\\ -\frac{EA}{L}& 0& 0& \frac{EA}{L}& 0& 0\\ 0& -\frac{12EI}{L^3}& -\frac{6EI}{L^2}& 0& \frac{12EI}{L^3}& -\frac{6EI}{L^2}\\ 0& \frac{6EI}{L^2}& \frac{2EI}{L}& 0& -\frac{6EI}{L^2}& \frac{4EI}{L}\end{array}\right]$$
其中E是弹性模量，A是横截面积，L是单元的长度，I是惯性矩。
之后旋转单元，将单元转换为全局坐标系下
$$Km=T^{\prime }\ast Km\ast T$$
其中旋转矩阵T为：
$$\left[\begin{array}{cccccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0& 0& 0& 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& \cos \alpha & \sin \alpha & 0\\ 0& 0& 0& -\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\ 0& 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
之后还需要把这个6*6的局部刚度矩阵，拓展到12*12的全局刚度矩阵。方法就是：将局部刚度矩阵的1-3行移动到12*12全局矩阵中的3*i-2到3*i行（也就是4-6行），将4-6行移动到12*12全局矩阵中的3*j-2到3*j行（也就是10-12行）。列也同理。

4 把所有单元的刚度矩阵相加，得到总的刚度矩阵K
这一步就是将所有单元得到的刚度矩阵相加就行。

5 利用位移法与胡克定律F=K*D，求解出位移D
这里用到matlab里的
D=K\F;
就可以直接求解出D。

此外，如果有固定约束（比如固定端约束了x，y，theta三个自由度），需要用到乘大数法。
比如位移D列向量中的第i个分量被约束住了，规定要移动Di，则将刚度矩阵K的i行i列乘以一个很大的数（比如a=10E12），记为a*Kii。并且将载荷向量F中的第i行，更改为a*Kii*Di。

6 根据位移，反推出其余受力
这个可以根据梁弯曲受力的挠度公式，待定系数反求出受力。也可以根据之前得到的局部坐标系下的刚度矩阵，求解受力。

1.2 matlab程序

clear
clc
close all

%材料力学求解器
%平面刚架

%% 1前处理，划分定义节点与单元，输入初始条件
Node=4;%节点数量
Element=3;%单元数量
%节点位置，每一行分别为x、y
N_xy=[
    0,1;
    1,1;
    2,1;
    1,0
    ];
%单元属性【节点i,节点j,弹性模量E,横截面积A,惯性矩I】
El_ijEAI=[
    1 ,2 ,210E9 ,2E3*10^(-3*2) ,3E6*10^(-3*4) ;
    2 ,3 ,210E9 ,2E3*10^(-3*2) ,3E6*10^(-3*4) ;
    2 ,4 ,210E9 ,2E3*10^(-3*2) ,3E6*10^(-3*4) ;
    ];
%定义节点处施加的力的大小，顺序为Fx1,Fy1,Me1, Fx2,Fy2,Me2, Fx3,...
%这里例子中，F=[0;0;0;20E3;-20E3;-40E3;0;0;0;0;0;0];
F=zeros(3*Node,1);
F(4)=20E3;
F(5)=-20E3;
F(6)=-40E3;
%定义位移约束，顺序为X1,Y1,T1, X2,Y2,T2, X3,...
%后面为约束具体的值
%这里例子中，1,2,3,7,8,9,10,11,12都是0位移约束
Move_Limit=[1,2,3,7,8,9,10,11,12;
    0,0,0,0,0,0,0,0,0];


%% 2采用刚度矩阵方法计算

D=SolveStiffnessMethod(Node,Element,N_xy,El_ijEAI,F,Move_Limit);

%% 3后处理

%3.1求解变形后的图形
Scale_X=1000;%位移变形放大系数(宁小勿大）
Scale_T=0.5/max(abs( D(3:3:3*Node) ));%角度变形放大系数(宁小勿大）
%Scale_T=100;%角度变形放大系数(宁小勿大）
figure(1)
hold on
%绘制变形前的图像
for m=1:Element
    %原先节点的坐标位置
    xyI=N_xy(El_ijEAI(m,1),:);
    xyJ=N_xy(El_ijEAI(m,2),:);
    plot([xyI(1),xyJ(1)],[xyI(2),xyJ(2)],'b')
end
%绘制变形后的图像
for m=1:Element
    Node_I=El_ijEAI(m,1);
    Node_J=El_ijEAI(m,2);
    %原先节点的坐标位置
    xyI=N_xy(Node_I,:);
    xyJ=N_xy(Node_J,:);
    %变形后的节点坐标位置
    xyIJ_New=[xyI'+Scale_X*D(3*Node_I-2:3*Node_I-1),xyJ'+Scale_X*D(3*Node_J-2:3*Node_J-1)];
    %原先的节点对应的夹角
    Theta_IJ=angle((xyJ(1)-xyI(1))+(xyJ(2)-xyI(2))*1i);
    %变形后的节点对应的角度
    DirI=[cos( Theta_IJ+Scale_T*D(3*Node_I) ) ; sin( Theta_IJ+Scale_T*D(3*Node_I) )];
    DirJ=[cos( Theta_IJ+Scale_T*D(3*Node_J) ) ; sin( Theta_IJ+Scale_T*D(3*Node_J) )];
    %生成样条曲线
    cs3 = spline([1,2],[DirI,xyIJ_New,DirJ]);
    yy=ppval(cs3,linspace(1,2));
    %绘制
    plot(yy(1,:),yy(2,:),'r')
end
hold off
axis equal

%3.2求解变形后的弯矩图
Scale_M=1E-5;%弯矩变形放大系数(默认1）
figure()
hold on
%绘制原先的图像
for m=1:Element
    %原先节点的坐标位置
    xyI=N_xy(El_ijEAI(m,1),:);
    xyJ=N_xy(El_ijEAI(m,2),:);
    plot([xyI(1),xyJ(1)],[xyI(2),xyJ(2)],'b')
end
%绘制力矩图
for m=1:Element
    %旋转杆件，回到局部坐标系
    Node_I=El_ijEAI(m,1);
    Node_J=El_ijEAI(m,2);
    E=El_ijEAI(m,3);
    A=El_ijEAI(m,4);
    I=El_ijEAI(m,5);
    xyI=N_xy(Node_I,:);
    xyJ=N_xy(Node_J,:);
    L=sqrt(sum((xyI-xyJ).^2));
    Theta_IJ=angle((xyJ(1)-xyI(1))+(xyJ(2)-xyI(2))*1i);
    %计算水平梁的变形
    T=RotateMatrixT(xyI,xyJ);
    D_IJ=[D(3*Node_I-2:3*Node_I);D(3*Node_J-2:3*Node_J)];
    DT=T'*D_IJ;
    %根据弯矩公式反推弯矩
    Me_abcd=[0,0,1,0;
        0.5*L^2,L,1,0;
        0,0,0,1;
        L^3/6,L^2/2,L,1]/E/I;
    abcd=Me_abcd\[DT(3);DT(6);DT(4);DT(5)];
    
    %绘图
    x1=linspace(0,L);
    y1=abcd(1)*x1+abcd(2);
    y1=Scale_M*y1;
    %旋转xy
    xy2=[cos(Theta_IJ),-sin(Theta_IJ);sin(Theta_IJ),cos(Theta_IJ)]*[x1;y1];
    %将0点平移到xyI上
    xy2=xy2+xyI';
    %plot(xy2(1,:),xy2(2,:),'r')
    patch([xyI(1),xy2(1,:),xyJ(1)],[xyI(2),xy2(2,:),xyJ(2)],'k','FaceAlpha',0.5)
end
hold off
axis equal
%3.3 输出每个单元的受力，每个单元计算6个力，分别为I端点的Fx,Fy,Me和J端点的Fx,Fy,Me
FxFyMeIJ=zeros(Element,6);
for m=1:Element
Node_I=El_ijEAI(m,1);
Node_J=El_ijEAI(m,2);
E=El_ijEAI(m,3);
A=El_ijEAI(m,4);
I=El_ijEAI(m,5);
xyI=N_xy(Node_I,:);
xyJ=N_xy(Node_J,:);
L=sqrt(sum((xyI-xyJ).^2));
Theta_IJ=angle((xyJ(1)-xyI(1))+(xyJ(2)-xyI(2))*1i);
%旋转杆件，回到局部坐标系
T=RotateMatrixT(xyI,xyJ);
D_IJ=[D(3*Node_I-2:3*Node_I);D(3*Node_J-2:3*Node_J)];
DT=T*D_IJ;
%计算受力
FxI=-E*A/L*DT(4)+E*A/L*DT(1);
FxJ=E*A/L*DT(4)-E*A/L*DT(1);
FyI=-12*E*I/L^3*DT(5)+6*E*I/L^2*DT(6)+12*E*I/L^3*DT(2)+6*E*I/L^2*DT(3);
FyJ=12*E*I/L^3*DT(5)-6*E*I/L^2*DT(6)-12*E*I/L^3*DT(2)-6*E*I/L^2*DT(3);
MeI=-6*E*I/L^2*DT(5)+2*E*I/L*DT(6)+6*E*I/L^2*DT(2)+4*E*I/L*DT(3);
MeJ=-6*E*I/L^2*DT(5)+4*E*I/L*DT(6)+6*E*I/L^2*DT(2)+2*E*I/L*DT(3);
FxFyMeIJ(m,:)=[FxI,FyI,MeI,FxJ,FyJ,MeJ];
end
FxFyMeIJ( abs(FxFyMeIJ) < (max(abs(FxFyMeIJ))/1E10) )=0;
D( abs(D) < (max(abs(D))/1E10) )=0;
%输出
Str_Output1=char(zeros(Node+1,60)+32);%32\12288
Str_Output1(1,1:3)='节 点';
Str_Output1(1,14:17)='水平位移';
Str_Output1(1,34:37)='竖直位移';
Str_Output1(1,54:57)='转  角';
for m=2:Node+1
    Str_Output1(m,2:3)=num2str(m-1,'%02.f');
    Str_Output1(m,4:5)=char(12288);
    Str_Output1(m,12:23)=num2str(D(3*m-5),'%+10.5e');
    Str_Output1(m,24:28)=char(12288);
    Str_Output1(m,30:41)=num2str(D(3*m-4),'%+10.5e');
    Str_Output1(m,42:46)=char(12288);
    Str_Output1(m,48:59)=num2str(D(3*m-3),'%+10.5e');
end
Str_Output1

Str_Output2=char(zeros(2*Element+1,60)+32);
Str_Output2(1,1:3)='单 元';
Str_Output2(1,14:16)='横向力';
Str_Output2(1,34:36)='切向力';
Str_Output2(1,54:56)='力 矩';
for m=1:Element
    Str_Output2(2*m,2:3)=num2str(m-1,'%02.f');
    Str_Output2(2*m,4:5)=char(12288);
    Str_Output2(2*m,12:23)=num2str(FxFyMeIJ(m,1),'%+10.5e');
    Str_Output2(2*m,24:28)=char(12288);
    Str_Output2(2*m,30:41)=num2str(FxFyMeIJ(m,2),'%+10.5e');
    Str_Output2(2*m,42:46)=char(12288);
    Str_Output2(2*m,48:59)=num2str(FxFyMeIJ(m,3),'%+10.5e');
    
    Str_Output2(2*m+1,4:5)=char(12288);
    Str_Output2(2*m+1,12:23)=num2str(FxFyMeIJ(m,4),'%+10.5e');
    Str_Output2(2*m+1,24:28)=char(12288);
    Str_Output2(2*m+1,30:41)=num2str(FxFyMeIJ(m,5),'%+10.5e');
    Str_Output2(2*m+1,42:46)=char(12288);
    Str_Output2(2*m+1,48:59)=num2str(FxFyMeIJ(m,6),'%+10.5e');
end
Str_Output2


%% 一些自定义函数
function T=RotateMatrixT(xyI,xyJ)
xI=xyI(1);
yI=xyI(2);
xJ=xyJ(1);
yJ=xyJ(2);
L=sqrt((xJ-xI)^2+(yJ-yI)^2);
T=eye(6);
T(1,1)=(xJ-xI)/L;T(1,2)=(yJ-yI)/L;T(2,1)=-(yJ-yI)/L;T(2,2)=(xJ-xI)/L;
T(4,4)=(xJ-xI)/L;T(4,5)=(yJ-yI)/L;T(5,4)=-(yJ-yI)/L;T(5,5)=(xJ-xI)/L;
end

function D=SolveStiffnessMethod(Node,Element,N_xy,El_ijEAI,F,Move_Limit)
K_El=zeros(3*Node,3*Node,Element);
for m=1:Element
    %每个单元的属性
    Node_I=El_ijEAI(m,1);
    Node_J=El_ijEAI(m,2);
    E=El_ijEAI(m,3);
    A=El_ijEAI(m,4);
    I=El_ijEAI(m,5);
    %两端节点的坐标
    xyI=N_xy(Node_I,:);
    xyJ=N_xy(Node_J,:);
    L=sqrt(sum((xyI-xyJ).^2));
    %每个单元对应的刚度矩阵
    %计算系数
    KFxu=E*A/L;
    KFyv=12*E*I/L^3;
    KFyt=6*E*I/L^2;
    KMev=6*E*I/L^2;
    KMet=4*E*I/L;
    %刚度矩阵
    %Node_I=1;Node_J=2;
    K_El_m=zeros(6);
    K_El_m(1,1)=KFxu;
    K_El_m(2,2)=KFyv;K_El_m(2,3)=KFyt;
    K_El_m(3,2)=KMev;K_El_m(3,3)=KMet;
    
    K_El_m(1,4)=-KFxu;
    K_El_m(2,5)=-KFyv;K_El_m(2,6)=KFyt;
    K_El_m(3,5)=-KMev;K_El_m(3,6)=KMet;
    
    K_El_m(4,1)=-KFxu;
    K_El_m(5,2)=-KFyv;K_El_m(5,3)=-KFyt;
    K_El_m(6,2)=KMev;K_El_m(6,3)=KMet;
    
    K_El_m(4,4)=KFxu;
    K_El_m(5,5)=KFyv;K_El_m(5,6)=-KFyt;
    K_El_m(6,5)=-KMev;K_El_m(6,6)=KMet;
    %旋转杆件
    T=RotateMatrixT(xyI,xyJ);
    K_El_m_T=T'*K_El_m*T;
    %扩展到全局方程中，II、IJ、JI、JJ节点方程与K_El_m_T中的相同，其余全是0
    K_El_m_S=zeros(3*Node,3*Node);
    K_El_m_S(Node_I*3-2:Node_I*3-0,Node_I*3-2:Node_I*3-0)=K_El_m_T(1:3,1:3);
    K_El_m_S(Node_I*3-2:Node_I*3-0,Node_J*3-2:Node_J*3-0)=K_El_m_T(1:3,4:6);
    K_El_m_S(Node_J*3-2:Node_J*3-0,Node_I*3-2:Node_I*3-0)=K_El_m_T(4:6,1:3);
    K_El_m_S(Node_J*3-2:Node_J*3-0,Node_J*3-2:Node_J*3-0)=K_El_m_T(4:6,4:6);
    %保存到K_El里
    K_El(:,:,m)=K_El_m_S;
end

%整体的包含各个元素的刚度矩阵
K=sum(K_El,3);

a=1E12;%放大系数
%利用乘大数法，模拟位移约束的影响
for m=1:size(Move_Limit,2)
    n=Move_Limit(1,m);
    K(n,n)=a*K(n,n);
    F(n)=K(n,n)*Move_Limit(2,m);
end
%求解位移结果
D=K\F;
end

输出得到的变形图如下。这里变形为了展示效果有所夸张，实际变形基本看不出来。

输出的力矩分布图如下：

输出的计算结果如下：

'节 点          水平位移                竖直位移                转  角   '
    ' 01　　      +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00 '
    ' 02　　      +4.72998e-05　　　　　 -4.59643e-05　　　　　 -5.31466e-03 '
    ' 03　　      +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00 '
    ' 04　　      +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00　　　　　 +0.00000e+00 '


'单 元          横向力                 切向力                 力 矩    '
    ' 00　　      -1.98659e+04　　　　　 -1.97419e+04　　　　　 -6.52272e+03 '
    '   　　      +1.98659e+04　　　　　 +1.97419e+04　　　　　 -1.32192e+04 '
    ' 01　　      +1.98659e+04　　　　　 -2.04369e+04　　　　　 -1.35667e+04 '
    '   　　      -1.98659e+04　　　　　 +2.04369e+04　　　　　 -6.87021e+03 '
    ' 02　　      +1.93050e+04　　　　　 -1.97318e+04　　　　　 -1.32141e+04 '
    '   　　      -1.93050e+04　　　　　 +1.97318e+04　　　　　 -6.51767e+03 '

2 桁架的计算机求解

求解思路与之前的刚架是一致的。因为这里只涉及到二力杆，所以刚度方程简化了不少。

求解顺序还是如下：

1 定义划分单元与节点
2 列出每个节点的载荷F
3 求解每个单元的刚度矩阵Km
4 把所有单元的刚度矩阵相加，得到总的刚度矩阵K
5 利用位移法与胡克定律F=K*D，求解出位移D
6 根据位移，反推出其余受力

1 定义划分单元与节点

这个只需要把每一个杆定义为一个单元即可。

2 列出每个节点的载荷F

对于二力杆来说，每个节点受力包含Fx、Fy两个力，不存在力矩。相比较刚架少了一个力，总的力只有2m个。

外加力的方向定义为与x、y轴方向相同为正。

3 求解每个单元的刚度矩阵Km
这里局部坐标系的刚度矩阵变成了4*4的矩阵。分别对应Fxi,Fyi,Fxj,Fyj。
$$\left[\begin{array}{cccc}\frac{EA}{L}& 0& -\frac{EA}{L}& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ -\frac{EA}{L}& 0& \frac{EA}{L}& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
其中E是弹性模量，A是横截面积，L是单元的长度。
之后旋转单元，将单元转换为全局坐标系下
$$Km=T^{\prime }\ast Km\ast T$$
其中旋转矩阵T为：
$$\left[\begin{array}{cccc}\cos \alpha & \sin \alpha & 0& 0\\ -\sin \alpha & \cos \alpha & 0& 0\\ 0& 0& \cos \alpha & \sin \alpha \\ 0& 0& -\sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$$
之后还需要把这个4*4的局部刚度矩阵，拓展到全局刚度矩阵。方法同之前的刚架。

4 把所有单元的刚度矩阵相加，得到总的刚度矩阵K
这一步就是将所有单元得到的刚度矩阵相加就行。

5 利用位移法与胡克定律F=K*D，求解出位移D
这里用到matlab里的
D=K\F;
就可以直接求解出D。

此外，如果有固定约束（比如固定端约束了x，y两个自由度），需要用到乘大数法。
比如位移D列向量中的第i个分量被约束住了，规定要移动Di，则将刚度矩阵K的i行i列乘以一个很大的数（比如a=10E12），记为a*Kii。并且将载荷向量F中的第i行，更改为a*Kii*Di。

6 根据位移，反推出其余受力
对于二力杆来说，方程很简单，只需要带入到局部坐标系中求解出压力就行。

还是以书上例题为例：

matlab代码如下：

clear
clc
close all

%材料力学求解器
%平面二力杆系

%% 1前处理，划分定义节点与单元，输入初始条件
Node=4;%节点数量
Element=6;%单元数量
%节点位置，每一行分别为x、y
N_xy=[
    0,0;
    0,2;
    1,2;
    1,0
    ];
%单元属性【节点i,节点j,弹性模量E,横截面积A】
El_ijEA=[
    1 ,2 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    2 ,3 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    3 ,4 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    1 ,4 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    1 ,3 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    2 ,4 ,200E9 ,100*10^(-3*2) ;
    ];
%定义节点处施加的力的大小，顺序为Fx1,Fy1, Fx2,Fy2, Fx3,...
F=zeros(2*Node,1);
F(4)=-3E3;
F(5)= 1E3;
F(6)=-2E3;
%定义位移约束，顺序为X1,Y1, X2,Y2, X3,...
%后面为约束具体的值
%这里例子中，1,2,8都是0位移约束
Move_Limit=[1,2,8;
    0,0,0];
%检测
if size(N_xy,1)~=Node || size(El_ijEA,1)~=Element
    error('输入有误')
end
%% 2采用刚度矩阵方法计算
D=SolveStiffnessMethod(Node,Element,N_xy,El_ijEA,F,Move_Limit);

%% 3后处理
%3.1计算轴力
F_IJ=zeros(Element,1);
for m=1:Element
Node_I=El_ijEA(m,1);
Node_J=El_ijEA(m,2);
E=El_ijEA(m,3);
A=El_ijEA(m,4);
xyI=N_xy(Node_I,:);
xyJ=N_xy(Node_J,:);
L=sqrt(sum((xyI-xyJ).^2));
Theta_IJ=angle((xyJ(1)-xyI(1))+(xyJ(2)-xyI(2))*1i);
%旋转杆件，回到局部坐标系
T=RotateMatrixT(xyI,xyJ);
D_IJ=[D(2*Node_I-1:2*Node_I);D(2*Node_J-1:2*Node_J)];
DT=T*D_IJ;
%计算受力
FxI=-E*A/L*DT(1)+E*A/L*DT(3);

F_IJ(m,:)=FxI;
end




%3.2求解变形后的图形
Scale_X=200;%位移变形放大系数(宁小勿大）
%绘制颜色条
N_color=6;
mcp=[[linspace(1,1/(N_color-1),N_color-1)',zeros(N_color-1,1),zeros(N_color-1,1)];...
    [zeros(N_color,1),zeros(N_color,1),linspace(0,1,N_color)']];
mcp=flipud(mcp);
Max_F=max(abs(F_IJ));
ColorIndex=round(F_IJ/Max_F*(N_color-1))+N_color;
%颜色索引
figure(1)
hold on
%绘制变形前的图像
for m=1:Element
    %原先节点的坐标位置
    xyI=N_xy(El_ijEA(m,1),:);
    xyJ=N_xy(El_ijEA(m,2),:);
    plot([xyI(1),xyJ(1)],[xyI(2),xyJ(2)],'color',[0.5,0.5,0.5])
end
%绘制变形后的图像
for m=1:Element
    Node_I=El_ijEA(m,1);
    Node_J=El_ijEA(m,2);
    %原先节点的坐标位置
    xyI=N_xy(Node_I,:);
    xyJ=N_xy(Node_J,:);
    %变形后的节点坐标位置
    xyIJ_New=[xyI'+Scale_X*D(2*Node_I-1:2*Node_I),xyJ'+Scale_X*D(2*Node_J-1:2*Node_J)];
    %绘制
    plot(xyIJ_New(1,:),xyIJ_New(2,:),'color',mcp(ColorIndex(m),:),'linewidth',1.5)

end
hold off
axis equal
caxis([-Max_F,Max_F])
colormap(mcp)
colorbar()


%% 一些自定义函数
function T=RotateMatrixT(xyI,xyJ)
xI=xyI(1);
yI=xyI(2);
xJ=xyJ(1);
yJ=xyJ(2);
L=sqrt((xJ-xI)^2+(yJ-yI)^2);
T=eye(4);
T(1,1)=(xJ-xI)/L;T(1,2)=(yJ-yI)/L;T(2,1)=-(yJ-yI)/L;T(2,2)=(xJ-xI)/L;
T(3,3)=(xJ-xI)/L;T(3,4)=(yJ-yI)/L;T(4,3)=-(yJ-yI)/L;T(4,4)=(xJ-xI)/L;
end


function D=SolveStiffnessMethod(Node,Element,N_xy,El_ijEA,F,Move_Limit)
K_El=zeros(2*Node,2*Node,Element);
for m=1:Element
    %每个单元的属性
    Node_I=El_ijEA(m,1);
    Node_J=El_ijEA(m,2);
    E=El_ijEA(m,3);
    A=El_ijEA(m,4);
    %两端节点的坐标
    xyI=N_xy(Node_I,:);
    xyJ=N_xy(Node_J,:);
    L=sqrt(sum((xyI-xyJ).^2));
    %每个单元对应的刚度矩阵
    %计算系数
    KFxu=E*A/L;
    %刚度矩阵
    %Node_I=1;Node_J=2;
    K_El_m=zeros(4);
    K_El_m(1,1)=KFxu;
    K_El_m(1,3)=-KFxu;
    K_El_m(3,1)=-KFxu;
    K_El_m(3,3)=KFxu;
    %旋转杆件
    T=RotateMatrixT(xyI,xyJ);
    K_El_m_T=T'*K_El_m*T;
    %扩展到全局方程中，II、IJ、JI、JJ节点方程与K_El_m_T中的相同，其余全是0
    K_El_m_S=zeros(2*Node,2*Node);
    K_El_m_S(Node_I*2-1:Node_I*2-0,Node_I*2-1:Node_I*2-0)=K_El_m_T(1:2,1:2);
    K_El_m_S(Node_I*2-1:Node_I*2-0,Node_J*2-1:Node_J*2-0)=K_El_m_T(1:2,3:4);
    K_El_m_S(Node_J*2-1:Node_J*2-0,Node_I*2-1:Node_I*2-0)=K_El_m_T(3:4,1:2);
    K_El_m_S(Node_J*2-1:Node_J*2-0,Node_J*2-1:Node_J*2-0)=K_El_m_T(3:4,3:4);
    %保存到K_El里
    K_El(:,:,m)=K_El_m_S;
end

%整体的包含各个元素的刚度矩阵
K=sum(K_El,3);

a=1E11;%放大系数
%利用乘大数法，模拟位移约束的影响
for m=1:size(Move_Limit,2)
    n=Move_Limit(1,m);
    K(n,n)=a*K(n,n);
    F(n)=K(n,n)*Move_Limit(2,m);
end
%求解位移结果
D=K\F;
end

输出的图像结果：

变形同样被放大了，实际变形几乎看不出来。颜色显示了每根杆的受力情况。