基于区间算法的像素函数绘图方法（附matlab代码）（仿GrafEq）
惯例声明：本人没有相关的工程应用经验，只是纯粹对相关算法感兴趣才写此博客。所以如果有错误，欢迎在评论区指正，不胜感激。本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。
0 前言
这个文章写作目的是很久之前看到了Matrix67的一篇博客，介绍一款软件叫GrafEq。
http://www.matrix67.com/blog/archives/4447#more-4447
和常规的数学软件不同，它不是给出一些离散点，然后进行连线。它是基于像素级别的绘制定义域内的图像。因此，它可以做到只要能写出函数表达式，就一定能绘制出图像，无论是隐函数还是什么其它复杂函数。
现在它的官网依然存在，可以体验一下。
http://www.peda.com/grafeq/
下面是官网中一个示例函数，还有很多神奇的图像也是根据函数绘制的，这里就不再介绍了。
当然，最近突然想起这个茬了，就大概看了看基本原理，自己仿照着算法做了一款基于matlab的图像绘制程序。
参考文献：
Reliable Two-Dimensional Graphing Methods for Mathematical Formulae with Two Free Variables (作者：Jeff Tupper)
1 算法原理
1.1 判断该像素是否是解
首先把每一个像素都考虑其长和宽，以一个区间的形式来描述。
这种算法是基于区间分析，当区间内存在解的时候，或者不确定区间内是否存在解的时候，将像素所代表的区间标为解。当区间内不存在解的时候，将像素所代表的区间标为背景。
其中像素所代表的区间，可以举例说明：
比如像素在x轴上的坐标为0,1,2,3,4…
则每一个像素对应的区间为[-0.5,0.5]，[0.5,1.5]，[1.5,2.5]…
对于输入的函数，我们最终可以把函数表示为下面的形式：
f(x,y)>g(x,y)或f(x,y)<g(x,y)或f(x,y)=g(x,y)
比如y=x^ 2-1，其中f(x,y)=y，g(x,y)=x^2-1
根据区间算法，可以得出2个逻辑值T和F。
以小于<为例，[a,b]<[A,B]（这里默认a<b，A<B）
如果b<A，也就是区间ab全部小于区间AB，则返回[T,T]；
如果B<a，也就是区间ab全部大于区间AB，则返回[F,F]；
如果两个区间存在交集，则返回[T,F]。
之后，所有返回[F,F]的标记为确定区间不存在解。所有返回[T,T]的标记为确定区间存在解。所有返回[T,F]的标记为不确定是否存在解。
1.2 算法示例
以y<x-2的函数为例，总的区间为x[-4,4]，y[-4,4]
如果像素是1×1像素，则这个像素点x区间为[-4,4]，y区间为[-4,4]
计算式左侧为[-4,4]，计算式右侧为[-6,2]
进行判断[-4,4]<[-6,2]，区间存在交集，返回[T,F]。
说明有可能存在解。
如果像素是2×2像素，则遍历循环。
1号像素x区间为[-4,0]，y区间为[-4,0]
进行判断[-4,0]<[-6,-2]，区间存在交集，返回[T,F]。
2号像素x区间[0,4]，y区间为[-4,0]
进行判断[-4,0]<[-2,2]，区间存在交集，返回[T,F]。
3号像素x区间[-4,0]，y区间为[0,4]
进行判断[0,4]<[-6,-2]，区间完全大于另一个区间，返回[F,F]。
4号像素x区间[0,4]，y区间为[0,4]
进行判断[0,4]<[-2,2]，区间存在交集，返回[T,F]。
因此，我们可以绘制出2*2像素的图像：
同理，如果取更多的像素，则可以看到更精细的图像：
可以看到，当把像素取到1024×1024时，则看不到明显的像素值了。
1.3 区间算法
前面的是以y<x-2为例，算法较为简单，如果碰上其它计算，则会复杂一些。比如y=xx，xy=x+sin(x)之类的。
比如f=x*y，对于区间运算，就是找到f可能的所有可能范围，以x[-1,2]，y[1,3]为例。x*y所能取到的最小值为-1*3=-3，x*y所能取到的最大值为2*3=6，因此[-1,2] *[1,3]=[-3,6]。
比如f=sin(x)，对于区间运算，同样是找到f可能的所有可能范围。以x[0,2]为例，最小值是0，最大值为1。因此，sin([0,2])=[0,1]。
其它区间算法就不再一一列举了。好像matlab内没有相关的计算，所以需要自己进行编程计算。
2 计算示例
以下面的函数
f(x,y) =cos(cos(min(sinx+y,x+siny))) − cos(sin(max(siny+x,y+sinx))) > 0
为例：
绘图区间x为[-10,10]，y为[-10,10]，总共划分为1024份。
绘图matlab代码如下：
clear
clc
close all
%定义求解区间
X=[-10,10];
Y=[-10,10];
%求解域的长与宽
W=X(2)-X(1);
H=Y(2)-Y(1);
N_Split=10;%分割10次，采用2分法
D_Split=2;%采用2分法
dX=W/D_Split^N_Split;
dY=H/D_Split^N_Split;
x=X(1):dX:X(2);
y=Y(1):dY:Y(2);
%定义本次切割的所有网格格点
Interval_k_Ind=Mesh2IntervalInd(x,y);
%0是未定义，1是确定存在解，2是确定不存在解
Solve=zeros(length(y)-1,length(x)-1);
%遍历循环
for m=1:size(Interval_k_Ind,1)
x_I_New=Interval_k_Ind(m,1);
y_I_New=Interval_k_Ind(m,2);
X_I_k=x(x_I_New:x_I_New+1);
Y_I_k=y(y_I_New:y_I_New+1);
I_TF=I_Formula(X_I_k,Y_I_k);
%然后是对结果的判断
if xor(I_TF(1),I_TF(2))
Solve(y_I_New,x_I_New)=0;
elseif I_TF(1)==true && I_TF(2)==true
Solve(y_I_New,x_I_New)=1;
elseif I_TF(1)==false && I_TF(2)==false
Solve(y_I_New,x_I_New)=2;
end
end
Solve_Old=Solve;
%将所有等于0的替换为1
Solve(Solve==0)=1;
Solve=2-Solve;
%绘图
[X_Draw,Y_Draw]=meshgrid(0.5*(x(1:end-1)+x(2:end)),0.5*(y(1:end-1)+y(2:end)));
figure()
imagesc(0.5*(x(1:end-1)+x(2:end)),0.5*(y(1:end-1)+y(2:end)),Solve)
set(gca,'YDir','normal')
colormap([[1,1,1];[0,0,0]])%白色的是背景，解为黑色
shading flat
axis equal
xlim(X);ylim(Y);
function I_TF=I_Formula(I_x,I_y)
% %示例等式1：y < x-2
% I_TF=Less(I_y,I_x-2);
% %示例等式2：y > x*x-1
% I_TF=Greater(I_y,I_Multi(I_x,I_x)-1);
%示例等式3：f(x,y) =cos(cos(min(sinx+y,x+siny))) − cos(sin(max(siny+x,y+sinx))) > 0
F1=I_Cos(I_Cos(I_Min( I_PLUS(I_Sin(I_x),I_y) , I_PLUS(I_Sin(I_y),I_x))));
F2=I_Cos(I_Sin(I_Max( I_PLUS(I_Sin(I_y),I_x) , I_PLUS(I_Sin(I_x),I_y))));
I_TF=Greater(F1,F2);
end
function I_Save=Mesh2Interval(x,y)
[x2,y2]=meshgrid(x,y);
I_Save=zeros((length(x)-1)*(length(y)-1),4);
k=1;
for kx=1:length(x)-1
for ky=1:length(y)-1
%储存为x1,x2,y1,y2的形式
I_Save(k,:)=[x2(ky,kx),x2(ky,kx+1),y2(ky,kx),y2(ky+1,kx)];
k=k+1;
end
end
end
function Indxy=Mesh2IntervalInd(x,y)
Nx=length(x);
Ny=length(y);
Indxy=zeros((Nx-1)*(Ny-1),2);
k=1;
for kx=1:Nx-1
for ky=1:Ny-1
%储存为x1,x2,y1,y2的形式
Indxy(k,:)=[kx,ky];
k=k+1;
end
end
end
function I_TF=Greater(I_A,I_B)
%区间算法，A>B
if I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[true,true];
elseif I_A(2)<I_B(1)
I_TF=[false,false];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_TF=Less(I_A,I_B)
%区间算法，A<B
if I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[false,false];
elseif I_A(2)<I_B(1)
I_TF=[true,true];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_TF=Equal(I_A,I_B)
%区间算法，A==B
if I_A(1)==I_B(1) && I_A(2)==I_B(2)
I_TF=[true,true];
elseif I_A(2)<I_B(1) || I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[false,false];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_C=I_PLUS(I_A,I_B)
%区间算法，A+B
I_C=[I_A(1)+I_B(1),I_A(2)+I_B(2)];
end
function I_C=I_MINUS(I_A,I_B)
%区间算法，A-B
I_B2=[-I_B(2),-I_B(1)];
I_C=I_PLUS(I_A,I_B2);
end
function I_C=I_Multi(I_A,I_B)
%区间算法，A*B
Multi_All=I_A'*I_B;
I_C=[min(min(Multi_All)),max(max(Multi_All))];
end
function I_C=I_Sin(I_A)
%区间算法，sin(x)
MinMax=[0,0];I_C=[0,0];
a=I_A(1);b=I_A(2);
%判断是否存在极大值
if floor((a/pi-0.5)/2)<floor((b/pi-0.5)/2)
MinMax(2)=1;
I_C(2)=1;
end
if floor((a/pi+0.5)/2)<floor((b/pi+0.5)/2)
MinMax(1)=1;
I_C(1)=-1;
end
if MinMax(1)==0
I_C(1)=min([sin(a),sin(b)]);
end
if MinMax(2)==0
I_C(2)=max([sin(a),sin(b)]);
end
end
function I_C=I_Cos(I_A)
%区间算法，sin(x)
MinMax=[0,0];I_C=[0,0];
a=I_A(1);b=I_A(2);
%判断是否存在极大值
if floor((a/pi-0)/2)<floor((b/pi-0)/2)
MinMax(2)=1;
I_C(2)=1;
end
if floor((a/pi+1)/2)<floor((b/pi+1)/2)
MinMax(1)=1;
I_C(1)=-1;
end
if MinMax(1)==0
I_C(1)=min([cos(a),cos(b)]);
end
if MinMax(2)==0
I_C(2)=max([cos(a),cos(b)]);
end
end
function I_C=I_Min(I_A,I_B)
%区间算法 min(A,B)
I_C=[min(I_A(1),I_B(1)),min(I_A(2),I_B(2))];
end
function I_C=I_Max(I_A,I_B)
%区间算法 max(A,B)
I_C=[max(I_A(1),I_B(1)),max(I_A(2),I_B(2))];
end
3 计算示例2
对于某些计算结果，当确定区间内不存在解之后，可以直接跳过求解步骤，进而减少绘图时间。
因此可以进行循环，逐次加密进行求解。
matlab代码如下：
clear
clc
close all
%定义求解区间
X=[-10,10];
Y=[-10,10];
%求解域的长与宽
W=X(2)-X(1);
H=Y(2)-Y(1);
N_Split=10;%分割3次，采用2分法
D_Split=2;%采用2分法
for k=0:N_Split
dX=W/D_Split^k;
dY=H/D_Split^k;
x=X(1):dX:X(2);
y=Y(1):dY:Y(2);
%定义本次切割的所有网格格点
Interval_k_Ind=Mesh2IntervalInd(x,y);
%Interval_k=Mesh2Interval(x,y);
%0是未定义，1是确定存在解，2是确定不存在解
Solve=zeros(length(y)-1,length(x)-1);
%遍历循环
if k==0
%如果是第一次判断，直接求解
I_TF=I_Formula(X,Y);
if xor(I_TF(1),I_TF(2))
Solve=0;
elseif I_TF(1)==true && I_TF(2)==true
Solve=1;
elseif I_TF(1)==false && I_TF(2)==false
Solve=2;
end
else
for m=1:size(Interval_k_Ind,1)
x_I_New=Interval_k_Ind(m,1);
y_I_New=Interval_k_Ind(m,2);
%判断在上一个区间内是否为0或者1
x_I_Old=ceil(x_I_New/D_Split);
y_I_Old=ceil(y_I_New/D_Split);
if Solve_Old(y_I_Old,x_I_Old)==0 || Solve_Old(y_I_Old,x_I_Old)==1
X_I_k=x(x_I_New:x_I_New+1);
Y_I_k=y(y_I_New:y_I_New+1);
I_TF=I_Formula(X_I_k,Y_I_k);
%然后是对结果的判断
if xor(I_TF(1),I_TF(2))
Solve(y_I_New,x_I_New)=0;
elseif I_TF(1)==true && I_TF(2)==true
Solve(y_I_New,x_I_New)=1;
elseif I_TF(1)==false && I_TF(2)==false
Solve(y_I_New,x_I_New)=2;
end
else
%如果是2，就跳过这个结果，因为确定不存在解
Solve(y_I_New,x_I_New)=Solve_Old(y_I_Old,x_I_Old);
continue
end
end
end
Solve_Old=Solve;
%判断是否所有全部为2，如果是，则跳出
if all(Solve==2)
break
end
%绘图
if k~=0
%[X_Draw,Y_Draw]=meshgrid(0.5*(x(1:end-1)+x(2:end)),0.5*(y(1:end-1)+y(2:end)));
figure(1)
imagesc(0.5*(x(1:end-1)+x(2:end)),0.5*(y(1:end-1)+y(2:end)),Solve)
set(gca,'YDir','normal')
axis equal
xlim(X);ylim(Y);
colormap([[1,0,0];[0,0,0];[1,1,1]])%白色2的是背景，解为黑色1，不确定为红色0
caxis([0,2])
set(gcf,'Position',[440 10 800 800])
pause(0.1)
end
end
%将所有等于0的替换为1
Solve(Solve==0)=1;
%绘图
[X_Draw,Y_Draw]=meshgrid(0.5*(x(1:end-1)+x(2:end)),0.5*(y(1:end-1)+y(2:end)));
figure()
pcolor(X_Draw,Y_Draw,Solve)
shading flat
function I_TF=I_Formula(I_x,I_y)
% %示例等式1：y < x-2
% I_TF=Less(I_y,I_x-2);
% %示例等式2：y > x*x-1
% I_TF=Greater(I_y,I_Multi(I_x,I_x)-1);
%示例等式3：f(x,y) =cos(cos(min(sinx+y,x+siny))) − cos(sin(max(siny+x,y+sinx))) > 0
F1=I_Cos(I_Cos(I_Min( I_PLUS(I_Sin(I_x),I_y) , I_PLUS(I_Sin(I_y),I_x))));
F2=I_Cos(I_Sin(I_Max( I_PLUS(I_Sin(I_y),I_x) , I_PLUS(I_Sin(I_x),I_y))));
I_TF=Greater(F1,F2);
end
function I_Save=Mesh2Interval(x,y)
[x2,y2]=meshgrid(x,y);
I_Save=zeros((length(x)-1)*(length(y)-1),4);
k=1;
for kx=1:length(x)-1
for ky=1:length(y)-1
%储存为x1,x2,y1,y2的形式
I_Save(k,:)=[x2(ky,kx),x2(ky,kx+1),y2(ky,kx),y2(ky+1,kx)];
k=k+1;
end
end
end
function Indxy=Mesh2IntervalInd(x,y)
Nx=length(x);
Ny=length(y);
Indxy=zeros((Nx-1)*(Ny-1),2);
k=1;
for kx=1:Nx-1
for ky=1:Ny-1
%储存为x1,x2,y1,y2的形式
Indxy(k,:)=[kx,ky];
k=k+1;
end
end
end
function I_TF=Greater(I_A,I_B)
%区间算法，A>B
if I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[true,true];
elseif I_A(2)<I_B(1)
I_TF=[false,false];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_TF=Less(I_A,I_B)
%区间算法，A<B
if I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[false,false];
elseif I_A(2)<I_B(1)
I_TF=[true,true];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_TF=Equal(I_A,I_B)
%区间算法，A==B
if I_A(1)==I_B(1) && I_A(2)==I_B(2)
I_TF=[true,true];
elseif I_A(2)<I_B(1) || I_A(1)>I_B(2)
I_TF=[false,false];
else
%两者存在交集
I_TF=[false,true];
end
end
function I_C=I_PLUS(I_A,I_B)
%区间算法，A+B
I_C=[I_A(1)+I_B(1),I_A(2)+I_B(2)];
end
function I_C=I_MINUS(I_A,I_B)
%区间算法，A-B
I_B2=[-I_B(2),-I_B(1)];
I_C=I_PLUS(I_A,I_B2);
end
function I_C=I_Multi(I_A,I_B)
%区间算法，A*B
Multi_All=I_A'*I_B;
I_C=[min(min(Multi_All)),max(max(Multi_All))];
end
function I_C=I_Sin(I_A)
%区间算法，sin(x)
MinMax=[0,0];I_C=[0,0];
a=I_A(1);b=I_A(2);
%判断是否存在极大值
if floor((a/pi-0.5)/2)<floor((b/pi-0.5)/2)
MinMax(2)=1;
I_C(2)=1;
end
if floor((a/pi+0.5)/2)<floor((b/pi+0.5)/2)
MinMax(1)=1;
I_C(1)=-1;
end
if MinMax(1)==0
I_C(1)=min([sin(a),sin(b)]);
end
if MinMax(2)==0
I_C(2)=max([sin(a),sin(b)]);
end
end
function I_C=I_Cos(I_A)
%区间算法，sin(x)
MinMax=[0,0];I_C=[0,0];
a=I_A(1);b=I_A(2);
%判断是否存在极大值
if floor((a/pi-0)/2)<floor((b/pi-0)/2)
MinMax(2)=1;
I_C(2)=1;
end
if floor((a/pi+1)/2)<floor((b/pi+1)/2)
MinMax(1)=1;
I_C(1)=-1;
end
if MinMax(1)==0
I_C(1)=min([cos(a),cos(b)]);
end
if MinMax(2)==0
I_C(2)=max([cos(a),cos(b)]);
end
end
function I_C=I_Min(I_A,I_B)
%区间算法 min(A,B)
I_C=[min(I_A(1),I_B(1)),min(I_A(2),I_B(2))];
end
function I_C=I_Max(I_A,I_B)
%区间算法 max(A,B)
I_C=[max(I_A(1),I_B(1)),max(I_A(2),I_B(2))];
end
3 其它展示
只是作为展示，遇到一些好玩的函数都会在这一节加更。
额外补充的函数以及定义域都会在后面注明。
3.1 展示1
用到的区间函数：
function I_C=I_Atan(I_A)
%区间算法 atan(A)，单调连续函数，所以直接区间变换就行
I_C=atan(I_A);
end
function I_C=I_Mod(I_A,b)
%区间算法，mod(A,b)，b是个常数，目前不支持区间
if ceil(I_A(1)/b)==ceil(I_A(2)/b)
I_C=[mod(I_A(1),b),mod(I_A(2),b)];
else
I_C=[0,b];
end
end
计算函数：
function I_TF=I_Formula(I_x,I_y)
%等式：mod(sqrt(x^2+y^2)-7/2*Arctan(x*y)+sin(x)*cos(y),pi)<pi/2
F1=I_Sqrt( I_PLUS(I_Multi(I_x,I_x),I_Multi(I_y,I_y)) );
F2=I_Atan(I_Multi(I_x,I_x))*7/2;
F3=I_Multi(I_Sin(I_x),I_Cos(I_y));
F4=I_Mod( I_PLUS(I_MINUS(F1,F2),F3),pi );
I_TF=Less(F4,[pi/2,pi/2]);
end
定义域：[-30,30]
图片展示：
3.2 展示2
计算函数：
function I_TF=I_Formula(I_x,I_y)
%示例等式5：x/sin(x)+-y/sin(y)=+-x*y/sin(x+y)
F1=I_Divide(I_x,I_Sin(I_x));
F2=I_Divide(I_y,I_Sin(I_y));
F3=I_Divide( I_Multi(I_x,I_y),I_Sin(I_Multi(I_x,I_y)) );
I_TF1=Equal(I_PLUS(F1,F2) ,I_PLUS([-1e-3,-1e-3],F3) );
I_TF2=Equal(I_PLUS(F1,F2) ,I_MINUS([-1e-3,-1e-3],F3));
I_TF3=Equal(I_MINUS(F1,F2),I_MINUS([-1e-3,-1e-3],F3));
I_TF4=Equal(I_MINUS(F1,F2),I_PLUS([-1e-3,-1e-3],F3) );
if and(I_TF1(1),I_TF1(2))||and(I_TF2(1),I_TF2(2))||and(I_TF3(1),I_TF3(2))||and(I_TF4(1),I_TF4(2))
I_TF=[true,true];
elseif xor(I_TF1(1),I_TF1(2))||xor(I_TF2(1),I_TF2(2))||xor(I_TF3(1),I_TF3(2))||xor(I_TF4(1),I_TF4(2))
I_TF=[true,false];
else
I_TF=[false,false];
end
定义域：[-10,10]
图片展示：
左边是我的图，右边是官方示例的图。发现我自己绘制的图多了很多不该出现的量，可以确定是因为除法在0附近的定义造成的。目前还不知道怎么消除这个影响。
不得不说，官方软件在很多细节上做的很好。