剑指offer33 二叉搜索树的后续遍历

剑指offer 33.二叉搜索树的后续遍历

题目描述：

输入一个整数数组，判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历结果。如果是则返回 true，否则返回 false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

示例

参考以下二叉树：

示例1
输入：[1,6,3,2,5]
输出：false
示例2
输入：[1,3,2,6,5]
输出：true

解题思路：

• 根据二叉树后序遍历顺序“左，右，中”，对数组进行划分[left | right | root]。
• 二叉搜索树的定义：左子树的所有节点的值小于根节点的值，右子树的左右节点的值，大于根节点的值，并且左右子树也是搜索树。
  

方法一：递归，分治

思路

• 根据二叉搜索树的定义，通过递归遍历，判断所有子树的正确性，
  递归解析：

• 终止条件：当$i>=j$，说明此子树节点数量<= 1,无需判别正确性，直接返回$true$，

• 递推工作：
  1.划分左右子树：从左向右遍历后续遍历的[i,j]区间元素，寻找第一个 大于根节点的元素，索引记为$m$。此时，可划分出左子树区间$[i,m-1]$,右子树区间$[m,j-1]$,根节点索引为$j$。
  2.判断是否为二叉搜索树：(根据二叉搜索树的定义)

  • 左子树区间$[i,m-1]$内所有节点都应 $<posterder[j]$。第一步在寻找第一个大于根节点的值索引的过程中，已经将左子树的节点值，判断完毕，因此接下来，不需要再重新比较。
  • 右子树区间$[m,j-1]$，内所有节点值应$ > posterderp[]j$,从索引$m+1$ 开始向右遍历，遇到第一个小于等于$posterder[j]$的值，返回其索引$p$，判断$p==j$,若满足，则此区间为二叉搜索树。

• 所有子树都需判定正确，最后才能返回true;,因此使用&& 逻辑符连接：

1.$p==j$,判断当前区间子树满足定义
2.$traversal(i,m-1)$:判断此树的左子树是否正确。
3.$traversal(m,j-1)$:判断右子树是否正确。
只有三者都为true时，才返回true。

代码段

class Solution{
    
    
public:
	bool traversal(vector<int>& posterder,int i,int j){
    
    
		if(i >= j) return true;
		int p = i;
		while(posterder[p] < posterder[j]) p++;
		int  m = p;
		while(posterder[p] > posterder[j]) p++;
		return (p==j) && traversal(posterder,i,m-1) && traversal(posterder,m,j-1);
	}
	bool verifyPosterder(vector<int>& posterder){
    
    
		if(posterder.size() <= 1) return true;
		return traversal(posterder,0,posterder.size()-1);
	}
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(N^2)$:每次调用递归减去一个根节点，因此递归占用$O(N)$;最差情况下，当树退化为链表，每轮递归都需要遍历树的的所有节点，占用$O(N)$.
• 空间复杂度$O(N)$:最差情况下，当树退化为链表，递归深度达到$N$。

方法二：单调栈

思路

• 此方法倒叙遍历数组，即[root | right | left]。

• 设后续遍历倒序$[r_n,r_{n-1},...r_1]$,遍历列表，设索引为$i$，若为二叉搜索树，则有：

  • 当节点值$r_i>r_{i+1}$时：节点值$r_i$一定是节点$r_{i+1}$的右子节点。
  • 当节点值$r_i<r_{i+1}$时：节点值$r_i$一定是root的左子节点，且root为节点值$r_{i+1},r_{i+2},....r_n$中的值大于且最接近$r_i$的节点。

• 对于$r_i<r_{i+1}$,若为二叉搜索树，则$r_i$右边的所有节点$[r_{i-1},r_{i-2},...r_1]<root$。

• 根据以上特点，使用单调栈作为辅助：
  1.借助一个单调栈$stack$存储值递增的节点；
  2.当遇到值递减的接单$r_i$，则通过出栈来更新$r_i$的父节点$root$；
  3.每轮判断$r_i$和$root$的值关系：
  (1)若$r_i>root$,则不满足二叉树定义，返回false;
  (2)若$r_i<root$,则继续遍历。

算法流程

1.初始化：单调栈stack,初始根节点为$root=+\infty$。（把树的根节点看作此无穷节点的左孩子）；
2.倒序遍历$posterder$记每个节点为$r_i$；

• 判断，若$r_i>root$则不满足二叉搜索树的定义，返回false;
• 更新父节点$root$:当栈不为空，且$r_i<stack.top()$时，循环执行出栈，并将出栈节点赋值给$root$。
• 入栈：将当前节点$r_i$入栈。

3.遍历完成，返回true;

复杂度分析

• 时间复杂度$O(N$：遍历$posterder$所有节点，各节点均入栈，/出栈一次，使用$O(N)$时间。
• 空间复杂度$O(N)$:最差情况下，单调栈$stack$存储所有接单。使用$O(N)$额外空间。

代码段

class Solution{
    
    
public:
    bool verifyPostorder(vector<int> & postorder){
    
    
        stack<int> st;
		int root = INT_MAX;
		for (int i = postorder.size()-1;i >= 0;i--){
    
    
			if (postorder[i] > root) return false;
			while(!st.empty() && st.top() > postorder[i]){
    
    
				root = st.top();
				st.pop();
			}
			st.push(postorder[i]);
		}
		return true;
    }
};