数学分析

笛卡尔坐标系是由实数集组成的。
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Y集合包含值域，但不等于值域

逆映射看起来和反函数的写法一样

复合映射，看起来像复合函数，成立的条件要求中间集合满足定义域
Rg表示g映射的值域，Df 表示f映射的定义域

隐函数

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开普勒方程是用隐函数表示的，给定x有唯一确定的y与它对应，没有办法解成显函数

是否周期函数都有最小周期

不是
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例如这个函数，周期趋近于0，但是找不到一个最小周期

重要不等式

三角不等式：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
平均值不等式：证明其实很复杂，但是已经讲清楚了
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有理数集

任何一个有理数一定可以写成
a = n/m，其中n和m是互质的正整数

上确界下确界

上确界：上界集合中的最小数
下确界：下界集合中的最大数

确界存在定理：
有上界的函数一定有上确界。
有下界的函数一定有下确界。

数列极限的定义

ε-N语言

邻域的概念

a点的ε邻域是指以a为中心，左右长度为ε的区间

一元函数极值的两种判定方法

通过该点左右两边的一阶导数确定
通过该点一阶导数为0，二阶导数的符号确定，二阶导数也为0时失效
(张宇)用高阶导数判断极值，n-1阶以内的导数都是0，n阶导数的符号不为0可判断

泰勒公式

带皮亚诺余项

只在趋近于x0的极小邻域生效
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条件：fx 到 fx的n-1阶导数都要在x0处连续

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带拉格朗日余项

皮亚诺余项是局部的，拉格朗日余项是整体的

条件比皮亚诺余项要求的更多，需要在区间上连续
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附录

希腊字母如何输入

输入希腊符号，在微软输入法中可以用uuxl

反函数的最高难度

第一步广义化
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第三步写答案

这个是反函数的最高难度了

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自然常数e的定义

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区间再现公式

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数形结合

直角坐标系的图
极坐标系的图
参数方程的图
空间图形（数学1）
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1/4次方，可以拆成2个平方根号

极限的唯一性

有两个极限说明极限不存在
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描点法用计算机就能算了没必要让人手画

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参数方程-摆线

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读完以下分析，你会理解，为什么参数方程所能解决的问题是有限的，因为前提必须是t与x存在单调性，才能用y对t的关系算出y对x的关系

理解：

对x(t)求导，发现x'(t)≥0
那么随着t的增加，x也单调递增
可以把t看作图像中的x了
那么想要寻找y(x)的极值点，可以转化为寻找y(t)的极值点
对y(t)求导，得到rsin(t)，在t=Tπ时得到驻点，t=π时x=πr
它左边导数大于0，右边导数小于0
可以推断出，这个点为极大值点，得到一个点(πr,2r)
同理，找到t=2π为极小值点，(2πr,0)

参数方程-星形线/内摆线（同义）

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双曲正弦函数

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数列（离散世界）

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立方差立方和公式

$立方差公式 : a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

$立方和公式 : a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$

三角函数公式

以下按推导顺序来排序

勾股定理

勾股定理的证明
勾股定理大家都知道，但是证明确实有点遗忘了。
时刻温习，这是三角函数各种定理的基石

余弦定理

它是勾股定理的推广，当θ=90°时，退化成勾股定理
余弦定理的证明
$余弦定理 : c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ ， θ 为 ab 之间的夹角$

向量点乘证明

证明向量点乘的两种定义等价
$向量点乘:a*b=x_ax_b + y_ay_b + z_az_b$
$向量点乘 : a * b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ ， θ 为 ab 之间的夹角$

两角和差公式（推导万物）

用向量点积的两种定义证明，得到两角差的余弦公式
$两角差的余弦 : cos (α - β) = cos α cos β + s in α s in β$

这里已经证明了一个公式了，那么接下去就只需要变形与诱导公式了。

$变形 cos (α - (- β)) = cos (α + β)$
$两角和的余弦 ★ : cos (α + β) = cos α cos β - s in α s in β$

$变形cos(α+β+\frac {π}{2})=-sin(α+β)$
$两角和的正弦 ★ : s in (α + β) = s in α cos β + cos α s in β$

$变形 s in (α + (- β)) = s in (α - β)$
$两角差的正弦 : s in (α - β) = s in α cos β - cos α s in β$

$两角和的正切★:tan(α+β)=\frac {tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$

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公式中的和比较重要，差可以直接诱导公式变号得到。

二倍角公式

二倍角公式：我的面积法证明（灵光一闪）
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重要倍角公式
$cos (α + α) = cos (2 α) = 1 - 2 s i n^{2} α = 2 co s^{2} α - 1$

多倍角公式

可以用和差公式推导出来

半角公式

用二倍角余弦公式推导出来

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反三角函数

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反三角函数的导数：使用反函数证明

y=arcsinx的导数，即siny=x
$y'(x)=(arcsinx)',-\frac{π}{2}≤y≤\frac{π}{2}\\ =\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ =\frac{1}{(siny)'}=\frac{1}{cosy},cosy≥0\\ =\frac{1}{\sqrt{1-sin^2y}}\\ =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
y=arccosx的导数，即cosy=x
$y'(x)=(arccosx)',0≤y≤π\\ =\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ =\frac{1}{(cosy)'}=-\frac{1}{siny},siny≥0\\ =-\frac{1}{\sqrt{1-cos^2y}}\\ =-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
反三角函数之间的关系
$\frac{π}{2}$
证明：
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0$
所以是常函数
y=arctanx的导数，即tany=x
$y'(x)=(arctanx)',-\frac{π}{2}≤y≤\frac{π}{2}\\ =\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\\ =\frac{1}{(tany)'}=cos^2y,siny≥0\\ =\frac{1}{1+tan^2y}\\ =\frac{1}{1+x^2}$

对数

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中值定理

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连续不等式问题，两种方法：

两两做差证明
中值定理

拉格朗日中值定理

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一元二次方程

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阶乘（离散世界）

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让离散世界的阶乘和连续世界的积分相等，怎么办？
欧拉发明了伽马函数

华里氏公式（点火公式）

华里氏公式的证明
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扩展版

重要不等式

绝对值不等式

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调和级数用的不等式

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唯一性

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数列极限如果存在，就是唯一的。

函数极限如果存在，就是唯一的。
导数如果存在，就是唯一的。

积分如果存在，就是唯一的、

数列极限

证明流程，讲的最好的
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无界非无穷大：有无穷大极限值也有常数极限值，称为无界非无穷大。

极限四则运算

★★极限四则运算：只有在极限存在的时候才能从同一个加减乘除里拆出来

举个例子吧，如果f(x)=1/x，g(x)=x²，那么当x趋于0时，f(x)没有极限，g(x)有极限0。但是f(x)+g(x)=x²+1/x在x趋于0时也没有极限，因为它会变得无穷大。所以不能说f(x)+g(x)的极限等于f(x)的极限加上g(x)的极限。
所以，a+b的极限在a的极限或b的极限不存在时，不可拆为a的极限+b的极限，是因为这样违反了加减法则的前提条件。

极限不在七种未定式里，即使存在无穷也可以拆
比如 lim(无穷+a)的极限，可以拆，因为结果显然是无穷

和的极限

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可以用夹逼准则或者定积分定义

数列递推式

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使用单调有界准则，或定义法（定义法是很难的，考研里没有考过）

找到下界，那么得配合上单调递减才能得出收敛的结果

数列相邻两项做差，得到单调性。

数学归纳法得递推

必要与充分

判断必要条件和充分条件的方法有：

如果能由结论推出条件，那么这个条件就是必要条件。比如，如果一个人会说中文，那么他一定学过中文。所以，学过中文是会说中文的必要条件。
如果能由条件推出结论，那么这个条件就是充分条件。比如，如果一个人是美国总统，那么他一定是美国公民。所以，美国总统是美国公民的充分条件。

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改题之后选B

函数极限

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等式脱帽法应用

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夹逼定理

两边相减等于0不能用夹逼定理
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洛必达法则 (后验结果存在或无穷大才成立)

不能用于离散的数列中，想要用，需要使用海涅定理连续化。
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洛必达法则第三条需要后验，如果计算结果不符合第三条，那么洛必达法则失效

泰勒公式 (x->0)

泰勒提出：任何可导函数都可以用幂函数乘上不同的系数加起来得到。

注意使用条件，x->0才能使用

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利用ln(1+x)巧妙化简

泰勒公式拆项要注意每一步大小

黑字算错了，应该用红字
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尽量先不用泰勒简化式子，再开始泰勒

无穷小的加减法

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这道23年题目我在5.25答对了

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若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的

海涅定理

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连续与间断

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连续必有界：开区间需要额外条件
七种未定式

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初等函数

初等函数在其定义区间内都是连续的
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间断点

第一类间断点又分为可去间断点和跳跃间断点。顾名思义，可去间断点就是左、右极限存在且相等；跳跃间断点就是左、右极存在但不相等。
第二类间断点包含无穷间断点，即左、右极限至少有一个是无穷大。大家一定要切记，第二类间断点不只有无穷间断点。

跳跃间断点：左极限存在，右极限存在，左极限≠右极限

可去间断点：左极限存在，右极限存在，左极限=右极限≠函数值

无穷间断点：左右极限至少有一个趋向于无穷

震荡间断点

参考震荡间断点的函数 $f(x)=x^2sin(\frac{1}{x})$

连续

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连续位置函数值等于极限值

一元函数微分

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无穷导数，视为导数不存在

微分

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y的微分也叫dy

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可微的判断

一元函数中可微和可导是充要条件

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商的导数，商的微分
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做题时候的问题

复合函数微分的本质是什么？为什么内层的增量可以当作函数整体的增量
以后学了数学分析再研究一下

分段函数

分段点求极限用左右两侧极限定义
非分段点求极限用公式
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下面这个公式其实就是用a = e^lna 推导出来的

保号性

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达布定理：根据维基百科，它是一个实分析中的定理，说明所有的实导函数都具有介值性质，就是说，它们的值域都是区间。这个定理是由让·加斯东·达布提出的，他是一个法国数学家。

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可导和导函数连续不是同一回事，导函数连续条件更高。

参考震荡间断点的函数 $f(x)=x^2sin(\frac{1}{x})$

函数的反函数的导数

单调函数一定有反函数
有反函数不一定是单调函数

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正着推导反着推导我都试了一遍，确实没问题

二阶反函数的导数
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高阶导数的常用公式

二阶及以上的导数都叫高阶导数

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莱布尼兹公式有点像组合数公式。

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用泰勒公式（和麦克劳林公式）做展开

极值点的定义

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间断点可以是极值点

最值点的定义

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最值点要从极值点、间断点（不可导点、端点）取

开区间要取端点的极限，如果最值在极限，那就没有最值

注意数列的右端是开区间范围
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单调性判别

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极值判别（费马定理）

必要条件
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考研中极值定理的错误使用

以下方法其实都有一定的错误，比如左右极限相等其实也算是广义的极小值点，知乎上有和我相同的提问

后续，AI说张宇是错的

用左右一阶导数推极值
用二阶导数推极值
用高阶导数推极值

凹凸性

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拐点

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渐近线

铅锤渐近线

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找无定义点、端点、分段点

水平渐近线

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找x的左右无穷

斜渐近线

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a不能为0，为0就变成水平渐近线了
找x的左右无穷

从字面来看，斜渐近线在x两端无穷处取得。
但是我记得初中的时候，算渐近线还有函数内部的，比如1/x这种函数的渐近线
网上查到的定义：函数有斜渐近线的充要条件是导函数在无穷远处存在不为零的有限极限,这一极限值就是斜渐近线的斜率
看来从定义上就是x两端无穷，这个讲的没问题

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中值定理

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积分中值定理（看到积分不等式得想起来）

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条件只要连续就可以

费马定理

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导数零点定理（达布定理）

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导函数存在=可导
不=导函数连续

罗尔定理

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考研中出现过的最复杂的罗尔定理（加上积分中值定理）

拉格朗日中值定理（kesei ξ:克西 Xi）

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条件：闭区间连续，开区间可导

柯西中值定理

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泰勒公式

$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...\\ +\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n\\ +\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
也可以写成累加形式，注意0的阶乘是1
$f(x)=\sum{\frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}\\ +\frac{f^{(n+1)}(ξ)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$
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在极限运算时使用的泰勒公式是带佩亚诺余项的泰勒公式

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常用的x趋近于0处的泰勒公式（公式总结）

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泰勒公式例题_推广的凹凸性定理

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零点问题和微分不等式

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零点问题

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零点定理和推广

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lnx-x/e在x趋于正无穷时函数趋于负无穷：把x换为lne^x，再用洛必达得证

罗尔原话

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实系数奇次方程至少有一个实根

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微分不等式

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函数性态证明

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巧妙的倒代换（根号在分母计算起来很费时，所以用倒代换把分母拉到分子上，要先在草稿纸上试试）

常数变量化

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一道题的三种做法

用中值定理证明不等式

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一元函数积分学

不定积分（原函数）

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不定积分(原函数)存在定理

连续函数必有原函数
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祖孙三代奇偶性与周期性

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复合函数奇偶性

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看到两种说法，
外偶则偶
内偶则偶,内奇同外

证明一下
g(x)偶函数 f(x)奇函数
$g (f (- x)) = g (- f (x)) = g (f (x)) 偶函数$
g(x)偶函数 f(x)偶函数
$g (f (- x)) = g (f (x)) 偶函数$
g(x)奇函数 f(x)偶函数
$g (f (- x)) = g (f (x)) 偶函数$
g(x)奇函数 f(x)奇函数
$g (f (- x)) = g (- f (x)) = - g (f (x)) 奇函函数$