智能算法系列之模拟退火算法

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本博客封面由ChatGPT + DALL·E 2共同创作而成。

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前言

本篇是智能算法(Python复现)专栏的第二篇文章，主要介绍模拟退火算法(Simulate Anneal Algorithm, SAA)的思想，python实现及相关应用场景模拟。

模拟退火算法，顾名思义，就是对固体退火这一热力学过程的模拟，它是一种适合解决大规模组合优化问题的随机搜索算法。与一般的局部搜索算法不同的是，SAA以一定的概率选择邻域中目标值相对较小的状态，从理论上来说，它是一种全局最优算法。

1. 算法思想

固体退火过程是指将固体加热到熔化，再徐徐冷却使之凝固成规整晶体的热力学过程，主要由加温过程、等温过程以及冷却过程3个阶段组成。
(1) 加温过程：对固体加热时，随着温度的升高，粒子的热运动不断加强，逐渐偏离平衡位置，粒子排列也呈现出随机状态，此时，宏观上物体表现为液态，这就是熔化现象。熔化过程消除了系统内原先可能存在的非均匀状态，同时系统的能量也随着温度升高而增大；
(2) 等温过程：退火过程要求温度缓慢降低，使得系统在每个温度下都达到平衡状态。这一过程可以根据自由能减少定律给出解释：对于与环境发生热量交换而温度保持不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝着自由能减少的方向进行，当自由能达到最小值时，系统达到平衡态；
(3) 冷却过程：温度的降低使得粒子热运动慢慢减弱，粒子排列渐趋有序，系统能量不断减小，最终得到低能的晶体结构。当液体凝固成固体的晶态时，退火过程完成。

SAA是用来在一个大的搜寻空间内找寻最优解的基于概率的算法，采用类似于固体退火的过程，先将固体加温至充分高（相当于算法的随机搜索），然后徐徐冷却（相当于算法的局部搜索），在每一个温度（相当于算法的每一次状态转移）达到平衡态，最终达到物理基态（相当于算法找到最优解）。
具体可以表述为：粒子在温度 $T$ 时趋于平衡的概率为 $\frac {\Delta E} {kT})$ ，其中 $E$ 为温度 $T$ 时的内能， $Δ E$ 为其改变量， $k$ 为玻耳兹曼常数。用固体退火模拟组合优化问题，将内能 $E$ 模拟为目标函数值 $f$ ，温度 $T$ 演化成控制参数 $t$ ，即得到解组合优化问题的SAA：
由初始解 $x$ 和控制参数初值 $t$ 开始，对当前解重复 "产生新解 --> 计算目标函数差 --> 接受或舍弃" 的迭代，并逐步衰减 $t$ 值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡洛迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。退火过程由冷却进度表控制，包括控制参数的初值 $t$ 及其衰减因子 $Δ t$ 、每个 $t$ 值时的迭代次数 $L$ 和停止条件 $S$ 等。

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2. 细节梳理

2.1 超参数的选择

初始温度T建议选择较大的值，终止温度T_end建议选择较小的值，这里选择初始温度T=100, T_end=0.001，过大或过小会影响算法收敛的速度；每个温度下的迭代次数和冷却系数可以根据问题场景适当控制，过大也会影响收敛的速度；玻尔兹曼常数k这里设置为1。

2.2 一些trick

其实，也可以不必完全按照上述流程图来实现SAA，比如，每个温度下的迭代次数，从原理上来看，这部分是影响了迭代次数，如果将冷却系数设置为稍大一些，比如0.99，那么这部分在实现的时候可以省略掉，算法仍然能够得到最优解。当然啦，博主只是在该问题上得出的一个结论，是否具有普适性还需要验证。本篇为了算法的完整性，仍然按照流程图来实现SAA算法。

3. 算法实现

3.1 问题场景

最值问题，求解 $f (x) = x s in (5 x) - x cos (2 x)$ 在定义域[0, 5]上的最小值。我们先手动计算一下：

$f^\prime (x) = 2 x sin(2 x) + sin(5 x) - cos(2 x) + 5 x cos(5 x)$ 令 $f^\prime (x) = 0$ 之后，理论上可以求得驻点，但又不太好计算。。。

3.2 从算法角度分析

根据上述问题场景及算法原理，需要考虑两种情况：
(1)当前解是局部最优解，即 $f(x^ \prime) < f(x)$ ，保留当前局部最优解，继续产生新解；
(2)当前解非局部最优解，即 $f(x^ \prime) \geq f(x)$ ，计算出当前温度下该解收敛的概率，如果概率大于一定阈值(随机的)，则该解可以作为局部最优解，保留该解并继续产生新解，否则就丢弃该解，继续产生新解。

3.3 python实现

# -*- coding:utf-8 -*-
# Author:   xiayouran
# Email:    [email protected]
# Datetime: 2023/1/16 11:12
# Filename: sa.py
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt

def f(x):
    return x*np.sin(5*x) - x*np.cos(2*x)

seed = 10086
np.random.seed(seed)

T = 100     # 初始温度
T_end = 1e-3    # 终止温度
coldrate = 0.9    # 冷却系数
max_count = 15  # 每个温度值下的迭代次数
x_range = [0, 5]    # 定义域

if __name__ == '__main__':
    plt.figure()
    plt.ion()
    x_ = np.linspace(*x_range, num=200)
    plt.plot(x_, f(x_))

    x = np.random.uniform(*x_range)  # 初始解
    while T > T_end:
        for _ in range(max_count):
            y = f(x)
            x_new = np.clip(x + np.random.randn(), a_min=x_range[0], a_max=x_range[1])

            # something about plotting
            if 'sca' in globals() or 'sca' in locals():
                sca.remove()
            sca = plt.scatter(x, y, s=100, lw=0, c='red', alpha=0.5)
            plt.pause(0.01)

            y_new = f(x_new)
            if y_new < y:  # 局部最优解
                x = x_new
            else:
                p = np.exp(-(y_new - y) / T)  # 粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp[-ΔE/(kT)]
                r = np.random.uniform(0, 1)
                if p > r:  # 以一定概率来接受最优解
                    x = x_new
        T *= coldrate

    plt.scatter(x, f(x), s=100, lw=0, c='green', alpha=0.7)
    plt.ioff()
    plt.show()
    print('最小值对应的坐标点: ({}, {})'.format(x, f(x)))

得到的最优解如下：

最小值对应的坐标点: (3.435632058805234, -6.276735466829619)

模拟过程如下：

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代码仓库：IALib[GitHub]

本篇代码已同步至【智能算法(Python复现)】专栏专属仓库：IALib
运行IALib库中的SAA算法：

git clone [email protected]:xiayouran/IALib.git
cd examples
python main.py -algo saa