模拟退火算法及模型

作者：凯鲁嘎吉 - 博客园 http://www.cnblogs.com/kailugaji/

一、算法的提出

模拟退火算法最早的思想由Metropolis等（1953）提出，1983年Kirkpatrick等将其应用于组合优化。

二、算法的目的

1.解决NP复杂性问题

2.克服优化过程陷入局部极小

3.克服初值依赖性

三、物理退火过程

1.加温过程 -- 增强粒子的热运动，消除系统原先可能存在的非均匀态；

2.等温过程 -- 对于与环境换热而温度不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态；

3.冷却过程 -- 使粒子热运动减弱并渐趋有序，系统能量逐渐下降，从而得到低能的晶体结构。

四、组合优化与物理退火的相似性

五、数学表述

1.在温度 T ，分子停留在状态 r 满足波尔兹曼概率分布

E 表示分子能量的一个随机变量，E(r) 表示状态 r 的能量，k_b为Boltzmann常数。Z(T)为概率分布的标准化因子：

2.Metropolis准则 - 以概率接受新状态

假设在状态x_old时，系统受到某种扰动而使其状态变为x_new。与此相对应，系统的能量也从E(x_old)变为E(x_new) ，系统由x_old状态变为x_new状态的接受概率p为

六、算法描述

（1）随机产生一个初始解 x₀ ,令x_best = x₀ ,并计算目标函数值E( x₀ );

（2）设置初始温度T = T₀,迭代次数 i = 1 ;

（3）do while T > T_min

1) for j = 1 ~ k

2) 对当前最优解 x_best 按照某一邻域函数，产生一新的解 x_new 。计算新的目标函数值E(x_new )，并计算目标函数值的增量∆E= E(x_new )- E(x_best );

3) 如果 ∆E <0 , 则 x_best = x_new ;

4) 如果 ∆E >0, 则 p = exp (- ∆E / T(i));

і) 如果 c = random[0,1]<p, x_best = x_new;

ii) 否则 x_best = x_best 。

5) End for

（4）update T, i = i+1;

（5）End Do

（6）输出当前最优点，计算结束。

 1 给定初温t=t0，随机产生初始状态s=s0，令k=0；
 2 Repeat
 3    Repeat
 4       产生新状态sj=Genete(s)；
 5         if min{1,exp[-(C(sj)-C(s))/tk]}>=randrom[0,1]             
 6               s=sj;
 7    Until 抽样稳定准则满足；
 8    退温tk+1=update(tk)并令k=k+1；
 9 Until 算法终止准则满足； 
10 输出算法搜索结果。

七、模拟退火算法的优缺点

1.模拟退火算法的优点：

（1）质量高；

（2）初值鲁棒性强；

（3）简单、通用、易实现；

（4）能获得全局最优。

2.模拟退火算法的缺点：

由于要求较高的初始温度、较慢的降温速率、较低的终止温度，以及各温度下足够多次的抽样，因此优化过程较长。