「算法笔记」模拟退火

模拟退火是一种随机化算法，常用于求函数极值。当一个问题的方案数量极大（甚至是无穷的），我们一般有两个选择。

爬山算法

爬山算法每次在当前找到的最优方案 $x$ 附近寻找一个新方案（一般随机差值）。如果这个新的解 $x'$ 更优，那么转移到 $x'$ 否则不变。
这种算法对于单峰函数显然可行（你都知道是单峰函数了为什么不三分呢）
但是对于多数需要求解的函数中，爬山算法很容易进入一个局部最优解，如下图（最优解为 $\color{green}{\Uparrow}$ ，而爬山算法可能找到的最优解为 $\color{red}{\Downarrow}$ ）。

模拟退火

根据爬山算法的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。

什么是退火？（选自百度百科）
退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

由于退火的规律引入了更多随机因素，那么我们得到最优解的概率会大大增加。于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。

模拟退火算法描述

我们定义当前温度为 $T$ ，当前状态与新状态（由当前状态通过随机的方式得到）之间的能量（值）差为 $\Delta E$ ，则发生状态转移（更新最优解）的概率为

P (Δ E) = e^{\frac{Δ E}{T}}

$P(\Delta E)=e^\frac{\Delta E}{T}$
显然在

Δ E > 0

$\Delta E>0$ 时（求解最大值）状态转移肯定成功，否则我们以上式的概率接受这个新的解。

如何退火（降温）？

模拟退火时我们有三个参数：初始温度 $T_0$ ，降温系数 $d$ ，终止温度 $T_k$ 。其中 $T_0$ 是一个比较大的数， $d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数， $T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。
首先让温度 $T=T_0$ ，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\cdot T$ 。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。
引用一张 Wiki - Simulated annealing 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。