估算法向量
法向量是三维点云数据具有的一个很重要的局部特性，在点云的许多处理中是必不可少的信息。
三维扫描获取的初始采样点集只记录了各采样点的空间三维坐标，而不存在任何连接关系，求解法向量是处理点云数据的第一步。
在三维软件中求解采样点的法向量，一般要求建立点云数据对应的网络模型。某顶点的法向量求解是通过计算其邻接所有面片法向量的平均值获取。该方法需要首先完成输入点云的网格化操作，因而是一种全局计算方法。由于目前可获取的三维点集的数据量增长非常迅速，建立全局网格几乎是不可行的。并且，在很多应用中，网格生成也不是必须的，因此，需要通过局部分析点云属性求解采样点对应的法向量信息。
估算法向量的方法主要有两类：拟合法和Delaunay球法
一、拟合法步骤一般分为：识别邻域点，计算法向量，判断法向量方向。
在估算法向量中有几种主要的方法：plane fitting ，quadric surface ，itting，triangle-based area weighted average，triangle-based angle weighted average。
1、平面拟合方法（plane fitting）【1，2】
协方差矩阵(Covariance Matrix)：通过对某点的K近邻进行协方差分析，求解协方差矩阵，可以获知该点所在局部区域的表面变化，估计曲率大小。同时，也可以根据协方差矩阵求解的最小特征值对应的特征向量来估计该点的法向量朝向【1】。
文献【2】中给出点云的法线求解过程，主要分为三步：
第一步，给定一个K 值，计算点云数据中所有点的K近邻。
第二步，通过对各点邻域的协方差分析，获取最小特征值对应的特征向量，即为该点对应法向量的走向。此时具体的朝向还未能确定。在此该文并未给出具体如何求解的过程。
第三步，调整整个点云的法向量朝向。法向量调整的基本原理：点云数据具有稠密的采样点，在近邻求解正确的前提下，可以先确定一个初始点的正确朝向，然后调整其邻域集中采样点的法向量朝向。继而通过各点的邻域点不断向外扩散，最终完成对整个点云数据的法向量朝向的调整。
2、二次曲面拟合方法（quadric surface fitting）
平面估算二次曲面拟合法【4】
离散点云进行三角剖分,按照角度计算权因子来初步估计法矢。然后,采用最小二乘进行二次曲面拟合进行修正，因而相比较方法1、2来说精度较高。
3、（triangle-based area weighted average）
4、（triangle-based angle weighted averag）
5、二次曲线拟合法（quadric curve fitting）【3】
通过建立某点的局部voronoi网格确定其近邻点，对该点及其近邻点以二次曲线拟合，求得切向量，对平均切向量求该点法向量。该方法对噪声点敏感。
文献【3】对前5种方法进行了比较。
二、Delaunay球法【5，6，7】
文献【5】先进行MAT(中轴变换)，对点云求Voronoi图，以Voronoi图中的网格顶点为圆心（球心）绘制Polar Balls（极球），以极球半径为权值，求加权Voronoi图，得出点云的内外轮廓，再分段线性近似曲面重构。该算法不能处理含噪点云。
文献【6】在文献【4】的基础上，利用点云边界上Delaunay球半径大小差异明显的现象，以小Delaunay球的外边界作为重构的曲面，该算法可以处理含噪点云。
文献【7】的主要工作是如何决定小Delaunay球。
附：
在经过大量的文献资料查找中，发现Mark Pauly在文献【1】中提到的协方差分析(Covariance Analysis)并不是通常意义上的协方差分析(Analysis of Covariance)，而文献【2】中只是将之直译过来。我就说怎么看不明白捏。
1、什么是协方差分析(Analysis of Covariance)【8】
协方差分析是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。在这种分析中，先将定量的影响因素(即难以控制的因素)看作自变量，或称为协变量(Covariate)，建立因变量随自变量变化的回归方程,这样就可以利用回归方程把因变量的变化中受不易控制的定量因素的影响扣除掉，从而,能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均数之间是否有显著性的差别，这就是协方差分析仅问题的基本思想。
只有１个定量的自变量时称为一元协方差分析、含有２个及２个以上定量的自变量时称为多元协方差分析。
2、协方差与协方差矩阵
协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性,即E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]。
在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵,表现的是随机变量各个元素分量之间的相互关系。
看了有关协方差矩阵的内容，觉得奇怪为什么Mark Pauly要用协方差矩阵来求解曲面的局部法向量，协方差表示两个随机变量之间的相关性，协方差矩阵表现随机变量各个元素分量之间的相互关系，而在Mark Pauly的方法中的三个随机变量是什么呢？看起来应该是XYZ三个坐标标量。
有关内容待调查后再来更新。
经过旷日持久的调查和不断的数学复习，终于搞明白了,事情经过是这样滴==+：
1、老外Hooper在他的论文里首次提到那个矩阵，称之为covariance matrix，symmetric 3*3 positive semi-definite matrix，其实更准确的术语应该是与黎曼几何有关的covariant matrix。
2、老外Mark Pauly在他的博士论文、众多paper、siggraph年会上的报告里都引用了该矩阵，并且用展开形式来表述，但他非但没有指出与黎曼几何有关的这个矩阵叫covariant matrix，反而给该方法加了名词covariance analysis。
3、国内有些人专门是看了最新的国外文献，然后就直接翻译过来发paper的，因此就把老外Hooper和Mark Pauly的covariance matrix翻译成协方差矩阵，把Mark Pauly的covariance analysis翻译成协方差分析。实际上真正的协方差矩阵和协方差分析和这些根本是风牛马不及。
参考文献
【1】Mark Pauly，Point Primitives for Interactive Modeling and Processing of 3D Geometry,for the Degree of Doctor of Sciences,Federal Institute of Technology(ETH) of Zurich,2003
【2】孟放,大型三维点云数据的交互绘制研究,博士研究生学位论文,北京大学，2005
【3】Daoshan OuYang,Hsi-Yung Feng,On the normal vector estimation for point cloud data from smooth surfaces,Computer-Aided Design 37 (2005) 1071–1079
【4】黄宇婷，点云模型的法矢和曲率的精确计算方法，机械设计与制造，2005年 06期
【5】Tamal K. Dey and Jian Sun,Normal and Feature Approximations from Noisy Point Clouds
【6】Tamal K. Dey，Samrat Goswami，Provable Surface Reconstruction from Noisy Samples ??
【7】Nina Amenta,Sunghee Choi,Ravi Krishna Kolluri,The Power Crust
法向量是三维点云数据具有的一个很重要的局部特性，在点云的许多处理中是必不可少的信息。
三维扫描获取的初始采样点集只记录了各采样点的空间三维坐标，而不存在任何连接关系，求解法向量是处理点云数据的第一步。
在三维软件中求解采样点的法向量，一般要求建立点云数据对应的网络模型。某顶点的法向量求解是通过计算其邻接所有面片法向量的平均值获取。该方法需要首先完成输入点云的网格化操作，因而是一种全局计算方法。由于目前可获取的三维点集的数据量增长非常迅速，建立全局网格几乎是不可行的。并且，在很多应用中，网格生成也不是必须的，因此，需要通过局部分析点云属性求解采样点对应的法向量信息。
估算法向量的方法主要有两类：拟合法和Delaunay球法
一、拟合法步骤一般分为：识别邻域点，计算法向量，判断法向量方向。
在估算法向量中有几种主要的方法：plane fitting ，quadric surface ，itting，triangle-based area weighted average，triangle-based angle weighted average。
1、平面拟合方法（plane fitting）【1，2】
协方差矩阵(Covariance Matrix)：通过对某点的K近邻进行协方差分析，求解协方差矩阵，可以获知该点所在局部区域的表面变化，估计曲率大小。同时，也可以根据协方差矩阵求解的最小特征值对应的特征向量来估计该点的法向量朝向【1】。
文献【2】中给出点云的法线求解过程，主要分为三步：
第一步，给定一个K 值，计算点云数据中所有点的K近邻。
第二步，通过对各点邻域的协方差分析，获取最小特征值对应的特征向量，即为该点对应法向量的走向。此时具体的朝向还未能确定。在此该文并未给出具体如何求解的过程。
第三步，调整整个点云的法向量朝向。法向量调整的基本原理：点云数据具有稠密的采样点，在近邻求解正确的前提下，可以先确定一个初始点的正确朝向，然后调整其邻域集中采样点的法向量朝向。继而通过各点的邻域点不断向外扩散，最终完成对整个点云数据的法向量朝向的调整。
2、二次曲面拟合方法（quadric surface fitting）
平面估算二次曲面拟合法【4】
离散点云进行三角剖分,按照角度计算权因子来初步估计法矢。然后,采用最小二乘进行二次曲面拟合进行修正，因而相比较方法1、2来说精度较高。
3、（triangle-based area weighted average）
4、（triangle-based angle weighted averag）
5、二次曲线拟合法（quadric curve fitting）【3】
通过建立某点的局部voronoi网格确定其近邻点，对该点及其近邻点以二次曲线拟合，求得切向量，对平均切向量求该点法向量。该方法对噪声点敏感。
文献【3】对前5种方法进行了比较。
二、Delaunay球法【5，6，7】
文献【5】先进行MAT(中轴变换)，对点云求Voronoi图，以Voronoi图中的网格顶点为圆心（球心）绘制Polar Balls（极球），以极球半径为权值，求加权Voronoi图，得出点云的内外轮廓，再分段线性近似曲面重构。该算法不能处理含噪点云。
文献【6】在文献【4】的基础上，利用点云边界上Delaunay球半径大小差异明显的现象，以小Delaunay球的外边界作为重构的曲面，该算法可以处理含噪点云。
文献【7】的主要工作是如何决定小Delaunay球。
附：
在经过大量的文献资料查找中，发现Mark Pauly在文献【1】中提到的协方差分析(Covariance Analysis)并不是通常意义上的协方差分析(Analysis of Covariance)，而文献【2】中只是将之直译过来。我就说怎么看不明白捏。
1、什么是协方差分析(Analysis of Covariance)【8】
协方差分析是将回归分析与方差分析结合起来使用的一种分析方法。在这种分析中，先将定量的影响因素(即难以控制的因素)看作自变量，或称为协变量(Covariate)，建立因变量随自变量变化的回归方程,这样就可以利用回归方程把因变量的变化中受不易控制的定量因素的影响扣除掉，从而,能够较合理地比较定性的影响因素处在不同水平下，经过回归分析手段修正以后的因变量的总体均数之间是否有显著性的差别，这就是协方差分析仅问题的基本思想。
只有１个定量的自变量时称为一元协方差分析、含有２个及２个以上定量的自变量时称为多元协方差分析。
2、协方差与协方差矩阵
协方差是统计学上表示两个随机变量之间的相关性,即E[(X-E(X))*(Y-E(Y))]。
在统计学与概率论中, 协方差矩阵是一个矩阵,表现的是随机变量各个元素分量之间的相互关系。
看了有关协方差矩阵的内容，觉得奇怪为什么Mark Pauly要用协方差矩阵来求解曲面的局部法向量，协方差表示两个随机变量之间的相关性，协方差矩阵表现随机变量各个元素分量之间的相互关系，而在Mark Pauly的方法中的三个随机变量是什么呢？看起来应该是XYZ三个坐标标量。
有关内容待调查后再来更新。
经过旷日持久的调查和不断的数学复习，终于搞明白了,事情经过是这样滴==+：
1、老外Hooper在他的论文里首次提到那个矩阵，称之为covariance matrix，symmetric 3*3 positive semi-definite matrix，其实更准确的术语应该是与黎曼几何有关的covariant matrix。
2、老外Mark Pauly在他的博士论文、众多paper、siggraph年会上的报告里都引用了该矩阵，并且用展开形式来表述，但他非但没有指出与黎曼几何有关的这个矩阵叫covariant matrix，反而给该方法加了名词covariance analysis。
3、国内有些人专门是看了最新的国外文献，然后就直接翻译过来发paper的，因此就把老外Hooper和Mark Pauly的covariance matrix翻译成协方差矩阵，把Mark Pauly的covariance analysis翻译成协方差分析。实际上真正的协方差矩阵和协方差分析和这些根本是风牛马不及。
参考文献
【1】Mark Pauly，Point Primitives for Interactive Modeling and Processing of 3D Geometry,for the Degree of Doctor of Sciences,Federal Institute of Technology(ETH) of Zurich,2003
【2】孟放,大型三维点云数据的交互绘制研究,博士研究生学位论文,北京大学，2005
【3】Daoshan OuYang,Hsi-Yung Feng,On the normal vector estimation for point cloud data from smooth surfaces,Computer-Aided Design 37 (2005) 1071–1079
【4】黄宇婷，点云模型的法矢和曲率的精确计算方法，机械设计与制造，2005年 06期
【5】Tamal K. Dey and Jian Sun,Normal and Feature Approximations from Noisy Point Clouds
【6】Tamal K. Dey，Samrat Goswami，Provable Surface Reconstruction from Noisy Samples ??
【7】Nina Amenta,Sunghee Choi,Ravi Krishna Kolluri,The Power Crust
【8】胡良平、童中彪、刘惠刚、李子建,医学论文中统计分析错误辨析与释疑(12)--定量资料统计分析方法的合理选择,中华医学杂志,2004 Vol.84 No.12 P.1046-1048点云模型的局部曲面几何信息的提取
转：http://blog.sina.com.cn/s/blog_61b952270100njus.html