Matlab求解非线性规划（fmincon函数的使用）

最近写文章需要用到fmincon函数做优化，于是抽空学习一下；按照惯例，继续开个博文记录一下学习的过程

参考资料：
[寻找约束非线性多变量函数的最小值 - MathWorks]
[Matlab求解非线性规划，fmincon函数的用法总结 - 博客园]
[Matlab非线性规划 - 博客园]

1. 介绍

在Matlab中，fmincon 函数可以求解带约束的非线性多变量函数(Constrained nonlinear multivariable function)的最小值,即可以用来求解非线性规划问题

matlab中，非线性规划模型的写法如下

$$\begin{gathered} minf(x) \\ s.t.\{\begin{array}{l}A\cdot x\le b\\ Aeq\cdot x=beq\\ c(x)\le 0\\ ceq(x)=0\\ lb\le x\le ub\end{array} \end{gathered}$$

• A、Aeq 为线性约束对应的矩阵
• b、beq 为线性约束对应的向量
• C(x),Ceq(x) 为非线性约束（返回向量的函数）
• f(x) 为目标函数（返回标量的函数）

2. 语法

Matlab求解命令为：
$$x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)$$

• x的返回值是决策向量x的取值，fval的返回值是目标函数f(x)的取值
• fun是用M文件定义的函数f(x),代表了(非)线性目标函数
• x0是x的初始值
• A, b, Aeq, beq定义了线性约束，如果没有线性约束，则A=[], b=[], Aeq=[], beq=[]
• lb和ub是变量x的下界和上界，如果下界和上界没有约束，则lb=[], ub=[], 也可以写成lb的各分量都为 -inf, ub的各分量都为inf
• nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数约束
• options定义了优化参数，不填写表示使用Matlab默认的参数设置

3. 示例

求下列非线性规划问题：
$$\begin{gathered} minf(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8 \\ s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1^2-x_2+x_3^2\ge 0\\ x_1^2+x_2^2+x_3^2\le 20\\ -x_1^2-x_2^2+2=0\\ x_2+2x_3^2=3\\ x_1,x_2,x_3\ge 0\end{array} \end{gathered}$$

3.1 编写M函数fun1.m，定义目标函数

function f = fun1(x)
f = x(1).^2 + x(2).^2 + x(3).^2 + 8;
end

3.2 编写M函数fun2.m，定义非线性约束条件

function [g,h] = fun2(x)
g(1) = - x(1).^2 + x(2) - x(3).^2;
g(2) = x(1) + x(2).^2 + x(3).^3 - 20;
% g代表不等式约束，Matlab中默认g<=0，所以这里取相反数
h(1) = - x(1).^2 - x(2).^2 + 2;
h(2) = x(2) + 2 * x(3).^2 - 3;
% h代表等式约束        
end

3.3 编写主程序函数

options = optimset;
[x, y] = fmincon('fun1', rand(3, 1), [], [], [], [], zeros(3, 1), [], 'fun2', options)
% 'fun1'代表目标函数，rand(3, 1)随机给了x初值，zeros(3, 1)代表下限为0，即x1, x2, x3>=0, 'fun2'即刚才写的约束条件

所得结果，x为最优解，y为最优值：
$$\begin{gathered} x_1=0.6312,x_2=1.2656,x_3=0.9312 \\ y=10.8672 \end{gathered}$$