信号与系统_Q&A_2023_超长

1、什么是卷积？

在信号与系统中，对于任何一个线性时不变系统，已通过输入信号与系统的冲击响应的卷积获得输出信号。我所理解的卷积是将两个函数整合成第三个函数，第三个函数表示的就是一个函数是如何被第二个函数所修改。

2、什么是傅里叶变换？及表达式？

傅里叶变换就是将满足一定条件的函数变成三角函数或者三角函数积分的线性组合。我的理解是它是一种将时域信号放到频域分析的一种数学工具。
（条件：
连续傅里叶变换/傅里叶级数收敛条件：满足平方可积或者狄利赫里条件：1.绝对可积2.任意有限区间内有有限个起伏变化3.任何有限区间内只有有限个不连续点且这些点上函数为有限值）
表达式:

信号等效于一个频谱密度函数，系统等效于一个频率响应，系统对信号起频谱变换作用。

傅里叶变换存在的充分条件

3、傅里叶变换的性质？

4、傅里叶变换与拉普拉斯的变换的区别与联系

拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广形式。可以看作一个信号乘以一个衰减因子后的傅里叶变换。

5、Nyquist频率的理解；Nyquist采样定理；解释一个比较熟悉的定理；

一个信号经采样后，必须满足采样频率大于信号最大频率（Nyquist角频率）的两倍（Nyquist频率），采样后的信号才能够被重建。

6、什么是滤波器？分为哪几种滤波器？有什么特点？

滤波器可以滤除信号中不感兴趣的频率分量。分为低通，高通，带通，带阻

7、如何判断信号正交

正交是针对波形而言的，如果两个波形在一段时间内内积为零，则他们在这段时间内正交。

8、描述卷积定理、如何理解卷积

两个信号在时域上的卷积等于两个信号各自傅里叶变换的乘积

卷积是一种数学运算，用于描述两个函数之间的关系，通常表示为一个函数在另一个函数上滑动后的重叠积分。在信号处理中，卷积可以用来描述两个信号之间的线性时不变关系。简单来说，卷积可以将两个函数合并成一个新的函数，新函数的形态和原函数有着密切的联系。

具体来说，如果我们有两个函数f(t)和g(t)，它们的卷积定义为：

(f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ(f∗g)(t)=∫−∞∞f(τ)g(t−τ)dτ

扫描二维码关注公众号，回复： 15332282 查看本文章

其中， $\tau$ 是积分变量，卷积结果为一个新函数，表示f(t)和g(t)在 $\tau$ 处的乘积在t时刻的加权和。这个加权和是通过将g(t)反向并平移 $\tau$ ，然后与f(t)进行乘积得到的。通过积分计算，我们可以得到卷积函数在不同时刻的取值。

在数字信号处理中，我们通常使用离散卷积来处理数字信号。离散卷积的公式为：

在这里插入图片描述

其中， $[n]$ 表示第n个离散样本。与连续卷积类似，离散卷积也是将g[n]翻转后与f[n]进行加权求和得到的结果。

9、无失真传输系统的要求是什么

幅频特性在整个频域范围内或者在所需要的带宽内为常数；相频特性为与w成正比。

无失真传输系统是指输出信号与输入信号在幅度和相位上完全一致的系统。要实现无失真传输，需要满足以下条件：

幅频响应必须是平坦的，即在通带范围内，所有频率的增益都是一样的，不引入失真。

相频响应必须是线性的，即所有频率的相位延迟相同，不引入相位失真。

时延必须是固定的，即信号在系统中通过的时间必须是恒定的，不引入时移失真。

噪声必须被控制在可接受的范围内，即信噪比不能过低，不引入噪声失真。

10、为什么说傅里叶变换是信号与系统的基础

傅里叶变换可以将符合条件的函数变成三角函数或者三角函数的线性组合。也就是可以将信号从时域放到频域分析。而信号与系统中采样，滤波等都需要分析信号的频谱或者分析系统的滤波特性，这些都是要从频域的角度入手。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要数学工具，它将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加。这种分解使得我们能够更好地理解信号在不同频率上的特性和行为，从而更好地设计和分析信号处理系统。

在信号处理和通信领域中，许多信号和系统的行为可以通过傅里叶变换来描述和分析，例如信号的频谱、滤波器的频率响应、系统的稳定性等等。此外，许多基于傅里叶变换的算法和技术，例如数字滤波、频域分析、信号合成、频谱估计等等，也在信号与系统领域中得到广泛应用。

11、什么是线性系统？为什么信号与系统中都要使用线性系统？

即满足齐次性和可加性的线性系统。例如输入x1，输出y1，输入x2输出y2，如果输入ax1+bx2，输出是ay1+by2，则这个系统是线性的。相对于非线性系统，线性系统的特性比较简单也比较容易处理，许多时候都会把系统理想化为线性系统，进行信号的处理（比如？）

齐次性又称为比例性，它意味着系统的输入变为a倍，输出也变为a倍。

可加性：每次只考虑一个输入，并假设其它的输入都为零而不对输出产生影响，将每次得到的单一的输出相加即可得到系统总的输出。

凡是具有分解性、零输入线性、零状态线性的系统就称为线性系统。线性系统的三个条件缺一不可，否则系统就是非线性系统。

12、什么是最小相位系统？有什么特点和好处？

最小相位系统是指在一定的幅频特性下，相移为最小的系统。
特点： 1、如果两个系统有相同的幅频特性，那么对于大于零的任何频率，最小相位系统的相角总小于非最小相位系统；
2、最小相位系统的幅频特性和相频特性直接关联，也就是说，一个幅频特性只能有一个相频特性与之对应，一个相频特性只能有一个幅频特性与之对应。对于最小相位系统，只要根据对数幅频曲线就能写出系统的传递函数。

13、什么是失真？

信号经系统传输，要受到系统函数的加权，输出波形发生变化与输入波形不同，则产生失真，使得响应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。主要包括幅度失真（各频率分量幅度产生不同程度的衰减）和相位失真（各频率分量产生的相移不与频率成正比）。

14、阶跃、冲激响应的联系

系统对冲激信号的响应就叫冲激响应，对阶跃信号的响应叫阶跃响应。
已知一个系统的单位冲激响应，对其进行积分可得单位阶跃响应。
已知一个系统的单位阶跃响应，对其进行求导可得单位冲激响应。

具体而言，对于一个线性时不变系统，其冲激响应是指在该系统输入一个单位冲激函数（即在 $t = 0$ 时刻施加一个瞬时幅度为1的信号）时，系统的输出信号；而阶跃响应是指在该系统输入一个单位阶跃函数（即在 $t = 0$ 时刻施加一个恒定幅度为1的信号）时，系统的输出信号。

由于单位阶跃函数可以看做是单位冲激函数的积分，因此在已知系统的冲激响应的情况下，可以通过对其进行积分得到系统的阶跃响应。反之，如果已知系统的阶跃响应，可以对其求导得到系统的冲激响应。

15、傅里叶级数与傅里叶变换的区别、联系

傅里叶级数仅适用于周期信号，傅里叶变换可以视作傅里叶级数的延伸，可以用于分析非周期信号的频谱特性。

傅里叶级数是用一组正弦和余弦函数的无限级数来表示一个周期函数，可以将周期信号分解成基频和其谐波的加权和。傅里叶级数的本质是将一个周期信号分解为频域中的一组离散频率分量，其中每个频率分量的振幅和相位由傅里叶系数给出。

傅里叶变换则是将非周期信号分解成基频和其谐波的连续函数形式的加权和，对于连续信号而言，可以将信号看做无限个正弦和余弦波的叠加，每个波的振幅和相位由傅里叶变换的结果给出。

可以看出，傅里叶级数是傅里叶变换的特例，即当信号为周期信号时，傅里叶级数退化为傅里叶变换的离散形式。

傅里叶级数和傅里叶变换的联系在于它们都是将信号从时域转换到频域，从不同的角度描述了信号的频率特性。傅里叶级数适用于周期信号，而傅里叶变换则适用于非周期信号。两者都是信号处理中非常重要的基本工具，广泛应用于数字信号处理、通信、图像处理等领域。

16、什么是吉布斯现象？

将具有不连续点的周期函数（如矩形脉冲)进行傅立叶级数展开后，选取有限项进行合成，会在不连续点处出现起伏，随着所选取的有限项数的增加，起伏向不连续点压缩，但高度不变。

吉布斯现象是由于wc截断有限带来的频率截断效应引起的，若wc趋于无穷，理想低通滤波器将成为一无失真传输系统，吉布斯现象将不会存在。

上升沿之前有一个幅度最大的负向振峰，其幅度约为稳态值的9%，无论截断频率为多少，过冲和预冲都是这么大。

信号进行时域截断（时域加窗）时，其频谱也会相应的出现吉布斯波纹，选择合适的窗函数可抑制频谱中的吉布斯波纹。

17、简述传递函数。

传递函数是指零初始条件下线性系统输出量的拉普拉斯变换（或z变换）与输出量的拉普拉斯变换（或z变换）之比。
我所理解理解的传递函数主要可以应用于1）在已知输入量和传递函数的情况下，求输出量。2）通过传递函数中的零极点判断系统的特性。（因果性，稳定性）

18、时不变系统

系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关

如果系统的输入信号在时间上有一个平移，系统的零状态相应也产生同样一个时间上的平移。

参数不随时间变化的系统叫做恒惨系统或定常系统，它们都是时不变系统。

从物理意义上看，时不变性是表示系统的响应不随系统激励信号的加入时间不同而发生变化。

一般而言，两个线性时不变系统的级联仍然是一个线性时不变系统，但两个非线性时不变系统的级联却不一定是非线性时不变系统，要根据子系统的具体特性来判断。

当激励信号为0时，只有系统的强迫响应为0.当系统的起始状态为0时，只有系统的零输入相为0.

对于一个线性时不变系统，其响应不可能产生激励信号中所没有的频率分量。

19、功率有限信号、能量有限信号

功率有限信号：在时域中，功率有限信号是指信号的平均功率有限，即信号在无限时间内的平均功率存在且有限。在频域中，功率有限信号的频谱是宽带的，具有无限多个频率分量。

能量有限信号：在时域中，能量有限信号是指信号的总能量有限，即信号在无限时间内的总能量存在且有限。在频域中，能量有限信号的频谱是窄带的，仅有有限个频率分量。

一般而言，持续时间有限的非周期信号都是能量有限信号，而周期信号及其它一些持续时间无限长的信号都是功率有限信号。（两者互不相容）（大部分的周期信号是功率信号）

20、奇信号、偶信号

任何信号都可以分解为偶分量和奇分量之和

21、因果系统

在任何瞬间的输出响应与未来的输入无关，至于当前或以前时刻的输入有关；非因果系统的响应可以领先于输入，即输出响应还与未来的输入有关。

因果性和稳定性是两个不同的概念，彼此之间没有必然的联系。

22、稳定系统

系统对任何一个有界输入，输出也有界

线性时不变系统单位冲激响应绝对可积是系统稳定的充要条件。

连续时间系统：如果冲激响应绝对可积，那么H(s)的收敛域包含虚轴。

离散时间系统：如果H(z)的极点全部位于单位圆的内部，则系统稳定，否则系统不稳定。

23、有记忆系统

系统的输出不仅和当前时刻的输入有关，而且还与它过去的输入有关。

含有记忆元件（电容器、电感、磁芯、寄存器、存储器等）的系统都是有记忆系统。

24、奇异信号

在函数或函数的导数或高阶导数中出现趋于无穷的奇异值。

包括：冲激信号、阶跃信号、斜坡信号、冲激偶信号等。

25、冲激信号/冲激偶信号特性

筛选特性
取样特性
展缩特性

离散时间单位冲激信号的基本性质：筛选性、组合性、求和、卷积

连续时间单位冲激信号的基本性质：筛选行、组合性、偶函数、尺度变换、卷积、积分、微分

任一连续信号与单位冲激信号相乘的结果仍然是一个冲激信号，其位置不变，强度是连续信号在抽样点的函数值。

26、信号的分解

交直流分解
奇偶分解
分解为基本信号的有限项之和

27、卷积

性质：

交换律
分配律
结合律

微积分特性：两函数卷积结果的微积分，与其中之一个函数先微积分后再与另一函数相卷积的结果相同。

卷积结果的宽度等于两宽度之和，起点、终点等于相加。

计算步骤：反转—>平移—>相乘—>积分（求和）

当系统级联时，整个系统的冲激响应等于各个子系统冲激响应的卷积。

斜变信号可以看作是阶跃信号 $u (t)$ 自身的卷积

当带宽为 $w_{m}$ 的带限信号自身进行卷积时，其带宽增加一倍。

奇异信号的卷积特性？

利用卷积的微分、积分性质往往可以简化卷积的运算，但这个性质的应用是有条件的，它要求卷积信号在-∞处为零。

一般而言，常数1和信号 $x (t)$ 的卷积等于信号 $x (t)$ 的面积

28、零输入响应

初始状态单独作用时的输出称为零输入响应。

在线性时不变系统中，输出响应可以分解为两个部分：零状态响应和零输入响应。

零状态响应是指在输入信号存在的情况下，系统的初始状态对输出信号的影响。而零输入响应是指在输入信号为零的情况下，系统对输入信号的响应。

对于一个线性时不变系统，如果输入信号为零，那么输出信号就只由初始状态决定，这个响应就是零输入响应。它不依赖于输入信号，只与系统的初始状态有关。

在连续时间域中，零输入响应可以通过系统的单位脉冲响应（即冲激响应）来计算。如果系统的单位脉冲响应为 $h (t)$ ，那么系统的零输入响应可以表示为：

yzi(t)=∫−∞∞h(τ)x(t−τ)dτyzi(t)=∫−∞∞h(τ)x(t−τ)dτ

其中， $x (t)$ 表示输入信号。也就是说，零输入响应是由系统的冲激响应与输入信号在时间上的卷积得到的。

在离散时间域中，零输入响应可以通过系统的单位脉冲响应（即冲激响应）来计算。如果系统的单位脉冲响应为 $h [n]$ ，那么系统的零输入响应可以表示为：

yzi[n]=∑k=−∞∞h[k]x[n−k]yzi[n]=∑k=−∞∞h[k]x[n−k]

其中， $x [n]$ 表示输入信号。也就是说，零输入响应是由系统的冲激响应与输入信号在时间上的离散卷积得到的。

29、零状态响应

输入信号单独作用时的输出称为零状态响应。

可以通过输入信号ft与系统冲激响应ht的卷积积分来求得。

离散系统中：零状态响应等于输入信号和单位样值响应的卷积和。

30、单位冲激响应

仅取决于系统的结构，可以用来表征系统本身的特性。

在信号处理中，单位冲激响应是一个非常重要的概念，常常用于描述线性时不变系统的特性。简单来说，单位冲激响应就是当输入信号为一个冲激函数时，系统的响应信号。

冲激函数，也称为δ函数，是一个极短脉冲信号，其幅度为无限大，宽度趋近于0，且积分为1。如果将冲激函数输入到一个线性时不变系统中，其输出信号就是该系统的单位冲激响应。

单位冲激响应的重要性在于，根据线性时不变系统的特性，任何信号都可以看作是一系列单位冲激信号的线性组合。因此，知道了系统的单位冲激响应，就可以推导出它对任意输入信号的响应，即通过卷积运算计算输出信号。

31、对系统的描述

微分方程、系统的传输算子、系统的冲激响应

32、系统全响应

系统全响应可分解为零输入响应和零状态响应。

33、序列的尺度展缩

离散序列压缩时，信号中的一部分信息被舍去，这与连续系统有所不同。

当信号进行尺度变换时，幅频特性和相频特性都要进行尺度变换。

34、卷积和

长度=m+n-1 （这与连续卷积的时长等于两函数的时长之和是不同的）

性质：交换律、结合律、分配律、单位元、单位延迟、数字积分器

卷积和的计算：变量置换、翻转、移位、相乘、累加

竖式法计算卷积和：采用的是竖式乘法相同的格式，只是各点分别相乘，分别加，不跨点进位，卷积结果的起始序号等于两序列起始序号之和。

35、差分方程

差分方程的阶数等于未知响应序列的最高序号与最低序号之差，各序列的序号自n以递增方式给出，称为前向差分方程。

36、完备正交集

正余弦信号集、虚指数信号集

在一个向量空间内，如果它的每个向量都可以表示为一组正交基的线性组合，那么这个正交基就被称为完备正交基。

更具体地说，对于一个向量空间V，如果存在一组向量 {φ₁, φ₂, …, φₙ}，它们满足以下条件：

向量 {φ₁, φ₂, ..., φₙ} 线性无关；
V 中的任意向量都可以表示为向量 {φ₁, φ₂, ..., φₙ} 的线性组合；
向量 {φ₁, φ₂, ..., φₙ} 中的每个向量都与其他向量正交（即内积为0）。

那么这组向量就是 V 的一个完备正交基。

使用完备正交基，可以将一个向量表示为各个正交基的线性组合，其中每个基的系数就是向量在该基方向上的投影。

37、Parseval能量等式

信号的能量等于其各正交展开分量的能量之和

（广义勾股定理）

Parseval能量等式是指在信号的时域和频域之间，信号的能量是相等的。具体地说，对于一个信号 $x (t)$ ，其傅里叶变换为 $X(\omega)$ ，则有：

在这里插入图片描述

这个等式称为Parseval能量等式。它表明了信号在时域和频域上的等价性，即信号的能量可以在时域上求得，也可以在频域上求得。同时，这个等式还表明了信号的能量守恒。

38、Dirichlet条件

在正余弦信号集和虚指数信号集上可以精确正交分解的信号应满足Dirichlet条件。

即在（t0,t0+T）区间内有定义，并且：

f(t)绝对可积；
f(t)的极大值和极小值的数目应有限；
f(t)如有间断点，间断点的数目应有限。

（只考虑周期信号，不考虑非周期信号，因为周期信号的周期性决定了一个周期内的傅里叶级数可以代表整个信号而非周期信号不具备这一特点。）

周期信号 + Dirichlet = 傅里叶级数展开

39、基频

任何周期信号只要满足Dirichlet条件，都可以分解为直流信号和许多简谐震荡分量的叠加，间歇震荡分量的最低（角）频率决定于信号的周期。这个最低（角）频率叫做基频，响应的简谐震荡分量叫做基波。

（二次谐波、三次谐波）

周期信号的谱线只能出现在离散点上，叫做离散谱。

40、指数形式与三角形式

同一个信号，既可以展开为三角形式的傅氏级数，又可以展开为指数形式的傅氏级数，二者虽然形式不同，但实质完全一样。

指数形式中有负频率项，只是表示的问题，并不表示真正存在以负频率进行震荡的分量，负频率项与响应的正频率项合起来才表示一个震荡分量。（双边频谱图）

41、周期信号频谱

频谱图中相邻谱线的间隔是基频，信号周期愈长，谱线间隔愈小，频谱越稠密；反之，则越稀疏。

偶信号的傅氏级数不含正弦项；奇信号的傅氏级数不含直流项和余弦项，只含正弦项。半波镜像对称信号（奇谐信号）只含有奇次谐波项。

周期信号的功率谱表明了其平均功率在各次谐波频率上的分配情况，也是离散的。

42、有效频带

把信号中从零频率（直流）到所需考虑的最高频率的频率范围叫做信号所占用的有效频带。

系统可以看作是改变输入信号谐波特性的一个滤波器。

43、傅里叶变换

与傅里叶级数不同，傅里叶变换所分解的虚指数分量发生在一切频率上，并且各分量振幅为，不再具有周期信号傅里叶级数中各频率分量的频率间的倍数关系。

频谱密度的概念与物理学中线密度的概念很类似。

对于傅里叶变换，Dirichlet是充分不必要条件。

尽管u(t)不满足绝对可积条件，但通过取极限并引入奇异函数，仍可以找到它的傅里叶变换。

44、白色谱

单位冲激信号只出现在了t=0时刻，但却包含了从负无穷到正无穷所有频率成分，且各频率分量的（相对）大小是相同的，称它的频谱为“白色谱”。

白色谱是指在所有频率上信号功率谱密度相等的信号。如果将信号表示为其功率谱密度函数的形式，那么白色谱就是一个常数，表示在所有频率上信号的功率是均匀分布的。这意味着，在时域上看不出任何规律性或周期性，因为它在所有频率上都具有相同的功率。在信号处理中，可以通过滤波等方法将一个信号转换为白色噪声，这样可以使其在所有频率上具有相同的功率。

45、连续时间傅里叶变换的性质

唯一性：频谱密度函数与时间信号一一对应

线性：复杂信号可以分解为几个简单信号之和

奇偶特性：偶信号的频谱是偶函数，奇信号的频谱是奇函数。实信号的频谱是共轭对称函数，即其实部是偶函数、虚部是奇函数，或其幅度频谱是偶函数，相位频谱是奇函数。

共轭特性：

对称特性：可根据已知信号的FT，求未知信号的FT。可以求部分不满足绝对可积信号的FT。

时域展缩特性：如果压缩信号的持续时间，就不得不以展宽信号的有效频带为代价。这一点在通信理论中，表现为时长（通信速度）与带宽（信道容量）的矛盾。

时移特性：信号波形在时域的平移，不改变其幅度特性，只改变相位特性，即各频率产生了与其频率成正比的附加相移。

频移特性：具有单一频率的虚指数信号和正余弦信号仅仅只在其频率处存在冲激的频谱密度。

时域微分特性：

频域微分特性：

时域卷积定理：时域卷积，频域相乘。（卷积性质的成立是有条件的，即时域所得的信号必须收敛。）

频域卷积定理：时域的乘法等效于频域的卷积运算。

时域积分定理：

信号能量和频谱的关系：能量有限的非周期信号的总能量等于各频率分量能量之和。

46、时域的周期性对应频域的离散性

一般周期信号的傅里叶变换（频谱）是发生在各次谐波频率上的一串冲激。

47、无失真传输

无失真传输系统应满足两个条件：

1、系统的幅频特性在整个频率范围内为非零实常数，从而保证输入信号所有频率分量通过系统后保持原有的幅度比例关系。

2、系统的相频特性在整个频率范围内是过坐标原点的一条斜率为负的直线，即输入信号各频率分量通过系统后的附加相移与频率成正比，以保证所有频率分量通过系统后都有相同时延，保持相对位置不变，从而不产生相位失真。

48、理想低通滤波器

允许信号的低频分量通过而抑制和衰减高频分量。

为什么理想低通滤波器物理不可实现？

根据佩利-维纳准则，只要系统的幅频特性在某一宽度不为零的频带内恒为零，相应的系统就是不可实现的。

理想低通滤波器的频率响应为：

在这里插入图片描述

49、抽样

时域抽样定理表明：在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点的瞬时值（样本值）来表示（获得样本值得过程称为抽样），并且可以用这些样本值把信号完全恢复出来。（电影）

时域抽样定理得重要性还在于他在连续时间信号和离散时间信号之间所起得桥梁作用。

50、冲激串抽样

51、脉冲串抽样

52、时域抽样定理

①如果f(t)是频带有限得信号；
②抽样频率满足：抽样频率为信号最高频率的两倍。

通常把最低允许抽样频率称为奈奎斯特频率Nyquist，把最大允许抽样间隔称为奈奎斯特间隔。

最低允许抽样频率为信号最高频率的两倍；最大允许抽样间隔为最低抽样频率得倒数。

欠抽样：发生频谱混叠，无法恢复原信号。

53、相关函数

相关函数就是两个信号之间时差的函数。

自相关函数

互相关函数

相关函数衡量了两个信号之间的相似程度，它是通过对两个信号进行卷积运算得到的。具体地说，对于信号x(t)和y(t)，它们的相关函数R_xy( $\tau$ )定义为：

在这里插入图片描述
其中， $\tau$ 表示延迟时间，R_xy( $\tau$ )表示信号x(t)和y(t)在时间轴上相互延迟tau的情况下的相似程度。如果R_xy( $\tau$ )为正值，则表示x(t)和y(t)在该时间点上具有相同的变化趋势；如果R_xy( $\tau$ )为负值，则表示x(t)和y(t)在该时间点上的变化趋势是相反的。

54、傅里叶级数

一个离散时间周期性信号的傅里叶级数是一个有限项级数，而不像连续时间信号的傅里叶级数是一个无穷级数。

离散正弦序列不一定是周期序列。

模拟角频率 = 数字角频率 × 抽样频率

在这里插入图片描述

无论是实信号或复信号，只要是周期信号，一般都可以用傅里叶级数表示；
傅里叶级数系数可以是无穷多项，也可以是有限项；
傅里叶级数有不同的表达形式，指数形式较为简单，而幅度谱、相位谱的形式较为直观，多用于图形描述。

非周期信号不能用傅里叶级数表示，因为傅里叶级数是由不同谐波频率的周期信号相加，相加的结果只能是一个周期信号。

55、

离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶变换具有很多相同点。两者的主要差别在于离散时间傅里叶变换的周期性，以及反变换的积分限为有限区间 2pi，这是因为在频率上相差2pi 的离散时间复指数信号是完全相同的。则对于周期信号，这就意味着傅里叶系数是周期的，而傅里叶级数表示式就是一个有限项和。

靠近pi 的偶数倍，都相应于信号的低频部分，靠近pi 的奇数倍都相应于信号的高频部分。

与连续时间情况一样，单位脉冲序列的傅里叶变换在所有频率上都是相等的。

当周期序列的周期趋于无穷大时，周期序列就变成非周期序列，傅里叶级数就变成了傅里叶变换，而频谱由周期离散谱变成了周期连续谱。

56、周期冲激串序列

随着时域内冲激之间的间隔（周期）的变长，在频域内冲激之间的间隔（基波频率）就变小。类似于在连续时间情况下，时宽与频带宽度成反比的关系。

57、几种傅里叶变换的关系

傅里叶变换：
在这里插入图片描述

呈周期性的连续时间函数，其傅里叶变换为离散的非周期频率函数（傅里叶级数，离散频谱）；而非周期性的离散时间函数，其傅里叶变换为连续的周期性函数（抽样信号的频谱呈周期性）。

周期性的连续时间函数对应于非周期性的离散频谱。

非周期的离散时间函数对应于周期性的连续频率变换函数。

58、拉普拉斯变换

拉氏变换可以看作是傅里叶变换的进一步推广。对那些不能进行傅里叶变换的信号，可进行拉氏变换。又称为复频域分析法（s域分析法），是分析连续线性非时变系统的强有力工具，其突出优点是：可自动引入初始状态，求出系统的全响应；可将微积分运算转换为乘除的代数运算；可将时域的卷积运算转化为复频域的乘积运算，为求时域卷积提供了一种新的方法。

任何存在傅氏变换的有始信号，必然存在拉氏变换，相反，存在拉氏变换的有始信号，不一定有傅氏变换；拉氏变换是傅氏变换的进一步推广，也称为广义傅氏变换。

59、ROC

ROC，Region of Convergence

双边拉氏变换必须标出收敛域。

“指数阶函数信号”意思是可借助于指数信号的衰减作用将f(t)可能存在的发散性压制下去，使之成为收敛函数。

一般而言，对于任何有界的非周期信号，其能量有限，都为无条件收敛。

对于一些增长很快的信号，如exp(t^2) , t ^ t等，无法找到合适的值使其收敛，不存在拉氏变换。

60、拉氏变换的性质

1、线性

2、时移（延时）

3、复频移

4、尺度变换

5、时域微分定理

6、时域积分定理

7、s域微分定理

8、s域积分定理

9、初值定理

10、终值定理

11、卷积定理

61、拉普拉斯反变换

1、反变换表法

2、部分分式展开法

3、留数法（反演积分）

4、级数展开法

62、双边拉普拉斯变换

收敛域：

分析双边拉氏变换，可以把双边信号分成两个单边信号。

相同的双边拉氏变换，当取不同的收敛域时，其f(t)是各异的。这说明双边拉氏变换收敛域尤为重要。

63、用拉氏变换求解微分方程

1、对微分方程逐项取拉氏变换，利用微积分性质代入初始状态；

2、对拉氏变换方程进行代数运算，求出相应的象函数；

3、对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的时域表示。

64、基尔霍夫电流定律

对任意节点，在任一时刻流入（流出）该节点电流的代数和恒等于零

65、Z变换

在离散时间下与拉氏变换相对应的就是Z变换，它也是离散时间傅里叶变换的一种推广，同样Z变换的引入以及Z变换所具有的性质等方面都与拉氏变换相类似。

DTFT是单位圆上的Z变换

一般来说，有限长信号的Z变换是有限项幂级数求和，收敛域为全平面收敛。

左边序列的收敛域：圆内收敛，不包括极点。不同序列的Z变换表达式可能相同，但收敛域不同。

66、单边Z变换

求和仅在n的非负值上进行

67、S和Z平面不是一一映射（一多值变换）

S平面的虚轴—》Z平面的单位圆

S的左半平面—》Z的单位圆内

S的右半平面—》Z的单位圆外

68、Z变换收敛域的性质

1、一般是z平面内以原点为中心的圆环。

2、ROC内不包含任何极点。

3、如果x(n)为有限长序列，则Z变换的收敛域至少包括0<|z|<∞，可能包括z=0或z=∞

4、

5、

6、

69、Z变换的性质

1、线性：线性组合后的收敛域至少是重叠部分，如果引入了新的零点抵消了原来的极点，则收敛域有可能扩大。

2、时移：

3、频移

4、序列指数加权（z域尺度变换）

5、序列线性加权（z域微分）

6、初值定理：

7、终值定理：

8、时域卷积定理：

9、序列相乘（z域卷积定理）

10、帕斯瓦尔定理

70、克雷-哈密顿定理

任何方阵恒满足它自己的特征方程。

71、冲激响应表

72、离散时间系统的单位样值响应（表）

73、卷积性质表

74、离散卷积性质表

75、傅里叶变换性质表

76、单边拉普拉斯变换性质表

虽然单边拉氏变换只研究 $t \geq 0$ 的时间函数，但它并不要求原函数 $x (t)$ 是因果信号。如果把单边拉氏变换仅仅理解为是因果信号的变换，这不仅掩盖了单边拉氏变换和双边拉氏变换之间的差异，而且还可能在应用微分、积分性质时出错。

77、双边拉普拉斯变换性质表

78、卷积表

79、傅里叶变换表

80、单边拉普拉斯变换表

81、Z变换表

82、判断两信号正交

若两个信号正交，则它们的内积为零，即：

在这里插入图片描述
在离散时间域下，上式可改写为：

在这里插入图片描述

83、匹配滤波器

当冲激响应确定后，可以找到满足某些条件的输入信号，是系统响应在某个时刻得到最大值。对于输入信号而言，具有这种特性的系统称为匹配滤波器。（通常使用匹配滤波器来选择输入信号）