第三章

7

构造下列正规式相应的DFA

(1)	1(0\|1)*101
(2)	1(1010\|1(010)1)*0
(3)	0101010
(4)	(00\|11)((01\|10)(00\|11)(01\|10)(00\|11))

复习概念：

DFA没有输入空串之上的转换动作；
对于DFA，一个特定的符号输入，有且只能得到一个状态，而NFA就有可能得到一个状态集；

在这里插入图片描述

(1)

先将NFA画出
在这里插入图片描述

NFA转换为DFA

能发生转换的数据为 $\epsilon$ ,初态为 $0$ ,且它的 $\epsilon$ 闭包为 ${0\}$ , 所以不妨先求出 $I=0的I_0与I_1$

$I_0$ 表示，从 $I$ 的元素出发，只经过一次 $0$ 状态转化可以到达的元素集合

$I_1$ 表示，从 $I$ 的元素出发，只经过一次 $1$ 状态转化可以到达的元素集合

$I$	$I_0$	$I_1$
${0\}$	$\empty$	${1,2,3\}$

这里产生了新的非空集合 ${1,2,3\}$ ,需要对该集合作为新的 $I$ 进行处理

$I$	$I_0$	$I_1$
${1,2,3\}$	${2,3\}$	${2,3,4\}$
注意， $\epsilon$ 变化直接默认放进去

于是产生了新的集合 ${2,3\}$ 和 ${2,3,4\}$ ，继续对新集合产生上述操作

最后得到全部 状态转换矩阵

$I$	$I_0$	$I_1$	说明
${0\}$	$\empty$	${1,2,3\}$	新集合 ${1,2,3\}$
${1,2,3\}$	${2,3\}$	${2,3,4\}$	新集合 ${2,3\}$ ， ${2,3,4\}$ ,1没有0的状态转移，删去
${2,3\}$	${2,3\}$	${2,3,4\}$	无新集合
${2,3,4\}$	${2,3,5\}$	${2,3,4\}$	新集合 ${2,3,5\}$
${2,3,5\}$	${2,3\}$	${2,3,4,6\}$	新集合 ${2,3,4,6\}$ ,注意5没有0的状态转移，删去
${2,3,4,6\}$	${2,3,5\}$	${2,3,4\}$	无新集合
$\empty$	$\empty$	$\empty$	无新集合

重命名

$I$	$I_0$	$I_1$
0	$\empty$	1
1	2	3
2	2	3
3	4	3
4	2	5
5	4	3
$\empty$	$\empty$	$\empty$

然后我们还需要最小化状态转换矩阵，我们对所有的状态有如下定义

多余状态：对于一个状态 $S_i$ ，若从开始状态出发，不可能到达状态 $S_i$ ，则 $S_i$ 为多余（无用）状态
死状态：对于一个状态 $S_i$ ，对于任意输入符号a，若转到它本身后，不可能从它到达终止状态，则称 $S_i$ 为死状态
等价状态：若 $S_i$ 为自动机的一个状态，我们把从 $S_i$ 出发能导出的所有符号串的集合记为 $L(S_i)$ .
若有 $L(S_i) = L(S_ij)$ .则称 $S_i$ 和 $S_j$ 是等价状态。
可区别状态：自动机中两个状态 $S_i$ 和 $S_j$ ，如果它们不等价，则称它们可区别
如何判断？
- 状态 $S_i$ 和 $S_j$ 必须同时为终止状态或同时为非终止状态
- 状态 $S_i$ 和 $S_j$ 对于任意输入符 $a \in Σ$ ，必须转到等价的状态里

综上我们要去掉前两种状态，并合并等价状态

首先删去空集状态，其为死状态。

然后能到达原NFA中6状态的都是终态，也就是说重命名后的状态5为终态,记 ${5\}$ 为 $I^{(2)}$ ;剩余状态0,1,2,3,4为非终态，记 ${0,1,2,3,4\}$ 为 $I^{(1)}$ ；

不难发现 ${5\}$ 无法划分,

$I^{(1)}_0 = \{2,4\}\quad I^{(1)}_1 = \{1,3,5\}$
其中 ${1,3,5\}$ 不包含于任何划分，需要拆分 $I^{(1)}$

注意到只有4经过1到达5,需要将4划分出来

变成

$\{0,1,2,3\}\quad记为I^{(11)}\\ \{4\}\quad 记为I^{(12)}$

显然 $I^{(12)}$ 无法划分，继续考察 $I^{(11)}$

$I^{(11)}_0 = \{2,4\}\quad I^{(11)}_1 = \{1, 3\}$

${2,4\}$ 不包含于任何划分

注意到只有3经过0到达4,需要将3划分出来

$\{0,1,2\}\quad记为I^{(tmp)}\\ \{3\}\quad 记为I^{(112)}$

$I^{(tmp)}_0 = \{2\}\quad I^{(tmp)}_1 =\{1,3\}$

划分之后发现 ${1,3\}$ 也不被包含于新的划分了，需要继续划分 $I^{(tmp)}$ :0通过1转化为1，所以将0划分
$\{1,2\} \quad 记为 I^{(111)} \\ \{0\}\quad记为I^{(113)}$

最后得到划分
${0\}\{1,2\}\{3\}\{4\}\{5\}$
并重命名为 0，1，2，3，4

得到最简状态矩阵转换表

$I$	$I_0$	$I_1$
0		1
1	1	2
2	3	2
3	1	4
4	3	2

最简DFA如下
在这里插入图片描述

(2)

对于 1(1010*|1(010)*1)*0
被()*包围住的部分可以使用循环来表示

然后进入循环的部分两旁使用 $\epsilon$ 进行循环的离开
如 1010* 和 1(010)*1可以表示为如下NFA

在这里插入图片描述

整体的NFA如下

在这里插入图片描述

初始状态转换矩阵

$I$	$I_0$	$I_1$
${0\}$	$\empty$	${1,2,12\}$
${1,2,12\}$	${13\}$	${3,7,8,9\}$
${13\}$	$\empty$	$\empty$
${3,7,8,9\}$	${4,10\}$	${2,12\}$
${4,10\}$	$\empty$	${5,6,2,12,11\}$
${2,12\}$	${13\}$	${3,7,8,9\}$
${2,5,6,12,11\}$	${2,6,8,9,12,13\}$	${3,7,8,9\}$
${2,6,8,9,12, 13\}$	${2,6,10,12,13\}$	${2,3,7,8,9,12\}$
${2,6,10,12,13\}$	${2,6,12,13\}$	${3,7,8,9,11\}$
${2,6,12,13\}$	${2,6,12,13\}$	${3,7,8,9\}$
${2,3,7,8,9,12\}$	${4,10,13\}$	${2,3,7,8,9,12\}$
${3,7,8,9,11\}$	${4,8,9,10\}$	${2,12\}$
${4,10,13\}$	$\empty$	${2,5,6,11,12\}$
${4,8,9,10\}$	${10\}$	${2,5,6,11,12\}$
${10\}$	$\empty$	${11\}$
${11\}$	${8,9\}$	$\empty$
${8,9\}$	${10\}$	${2,12\}$

重命名

$I$	$I_0$	$I_1$
0	∅	1
1	2	3
3	4	5
4	∅	6
5	2	3
6	7	3
7	8	10
8	9	11
9	9	3
10	12	10
11	13	5
12	∅	6
13	14	6
14	∅	15
15	16	∅
16	14	5

在这里插入图片描述

终态集合 ${2,7,8,9,12\}$ ,
非终态集合 ${1,3,4,5,6,10,11\}$

拆分后有
${1, 5\} , \{0\} , \{2\}, \{3\} , \{4\} , \{6\} ,\{7\} , \{8\} , \{9\}, \{10\} , \{11\} , \{12\}, \{13\}, \{14\} , \{15\}, \{16\}$

1和5合并为1后，状态图如下
在这里插入图片描述

(3)

0*10*10*10*的NFA如下图

在这里插入图片描述

初态 $I$ 集合为 ${0,1,2\}$

$I$	$I_0$	$I_1$
${0,1,2\}$	${1,2\}$	${3,4,5\}$
${1,2\}$	${1,2\}$	${3,4,5\}$
${3,4,5\}$	${4,5\}$	${6,7,8\}$
${4,5\}$	${4,5\}$	${6,7,8\}$
${6,7,8\}$	${7,8\}$	${9,10,11\}$
${7,8\}$	${7,8\}$	${9,10,11\}$
${9,10,11\}$	${10,11\}$	$\empty$
${10,11\}$	${10,11\}$	$\empty$

重命名

$I$	$I_0$	$I_1$
0	1	2
1	1	2
2	3	4
3	3	4
4	5	6
5	5	6
6	7	∅
7	7	∅

得到未化简DFA
在这里插入图片描述

非终态 ${0,1,2,3,4,5\}$ ;终态 ${6,7\}$

显然 ${6,7\}$ 无须划分

$I^{(1)}$	$I^{(1)}_0$	$I^{(1)}_1$
${0,1,2,3,4,5\}$	${1,3,5\}$	${2,4,6\}$

${2,4,6\}$ 不包含于任何划分，需要将能转换为6的状态 $4 ， 5$ 划分

$I^{(11)} = \{0,1,2,3\}\quad I^{(12)} = \{4,5\}$

同理继续划分

$I^{(11)}$	$I^{(11)}_0$	$I^{(11)}_1$
${0,1,2,3\}$	${1,3\}$	${2,4\}$
将3与2划分出 $I^{(11)}$
$I^{(111)} = \{0,1\}\quad I^{(112)} = \{2,3\}$

最后的划分
$\{0,1\}\quad\{2,3\}\quad\{4,5\}\quad\{6,7\}$
经检验，他们经0、1转换后的集合都包含于现有划分

$I$	$I_0$	$I_1$
${0,1\}$	$\{1\}\sube\{0,1\}$	$\{2\}\sube\{2,3\}$
${2,3\}$	$\{3\}\sube\{2,3\}$	$\{4\}\sube\{4,5\}$
${4,5\}$	$\{5\}\sube\{4,5\}$	$\{6\}\sube\{6,7\}$
${6,7\}$	$\{6\}\sube\{6,7\}$

更名得到最简DFA

在这里插入图片描述

(4)

NFA如下

在这里插入图片描述

$I$	$I_0$	$I_1$
${0,1,4,5,19\}$	${2,6\}$	${3,8\}$
${2,6\}$	${1,4,5,19\}$	${7,9,12\}$
${3,8\}$	${7,9,12\}$	${1,4,5,19\}$
${1,4,5,19\}$	${2,6\}$	${3,8\}$
${7,9,12\}$	${10,13\}$	${11,15\}$
${10,13\}$	${9,12\}$	${5,14,16,19\}$
${11,15\}$	${5,14,16,19\}$	${9,12\}$
${9,12\}$	${10,13\}$	${11,15\}$
${5,14,16,19\}$	${6,17\}$	${8,18\}$
${6,17\}$	${5,16,19\}$	${7,9,12\}$
${8,18\}$	${7,9,12\}$	${5,16,19\}$
${5,16,19\}$	${6,17\}$	${8,18\}$

重命名

$I$	$I_0$	$I_1$
0	1	2
1	3	4
2	4	3
3	1	2
4	5	6
5	7	8
6	8	7
7	5	6
8	9	10
9	11	4
10	4	11
11	9	10

在这里插入图片描述

非终态 ${1,2,4,5,6,7,9,10\}$ ;终态 ${0,3,8,11\}$

划分过程略,最终化简
$\{3,6,8,11\}\quad\{1,6,9\}\quad\{4,7\}\quad\{2,5,10\}$

在这里插入图片描述

8

(1) 01结尾的二进制数串

$0|1)^*01$

(2) 被5整除的10进制整数

$1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5))|5))|0$

解释

不被括号括住的分隔符的左边是((+|-)(((1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5))|5)),内部可分为两部分
1. 第一部分 (+|-)表示+整数，-负数
2. 第二部分(((1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5))|5),可以根据分隔符继续分成两部分
  1. 左边部分((1|2|3|4|5|6|7|8|9)(0|1|2|3|4|5|6|7|8|9)^*(0|5))表示至少为2位的能被5整除的正整数
  2. 5指单独的数字5
还有不被括号括住的分隔符的右边表示0

(3) 奇数个1或奇数个0的二进制数串

$0^*1(0|10^*1)^*\ |\ 1^*0(1|01^*0)$

12 确定化、最小化下图的(a)(b)

编译原理个人作业--第二章

(a)

$I$	$I_a$	$I_b$
${0\}$	${0,1\}$	${1\}$
${0,1\}$	${0,1\}$	${1\}$
${1\}$	${0\}$	$\empty$

重命名后为：

$I$	$I_a$	$I_b$
0	1	2
1	1	2
2	1	$\empty$

非终态 ${2\}$ ;终态 ${0,1\}$
$\{0,1\}_a = \{1\} \sube \{0,1\}$
$\{0,1\}_b = \{2\} \sube \{2\}$

已经是最优划分

最简DFA为

在这里插入图片描述

(b)

本题已经确定化了，需要进行最小化
考虑到划分

$I^{(1)} = \{0,1\}与 I^{(2)} = \{2,3,4,5\}$

$I^{(2)}_a = \{0,1,3,5\}$
需要划分为
$I^{(21)} = \{2,3\}\quad I^{(22)} = \{4,5\}$

最终将$ {0,1}\quad {2,3}\quad {4,5}$重命名

在这里插入图片描述

14

构造DFS，令其满足

$\sum = \{0,1\} \land “每个1都有0直接跟在右边”的字符串$

正规式(0|10)^*

NFA

在这里插入图片描述

$I$	$I_0$	$I_1$
${X,0,Y\}$	${0,Y\}$	${1\}$
${0,Y\}$	${0,Y\}$	${1\}$
${1\}$	${0,Y\}$	$\empty$

重命名的DFA如下

在这里插入图片描述

观察划分
${0,1\}与\{2\}$
显然0，1可以进行合并，得到最简DFA

在这里插入图片描述

编译原理个人作业--第三章

第三章

7

(1)

(2)

(3)

(4)

8

(1) 01结尾的二进制数串

(2) 被5整除的10进制整数

(3) 奇数个1或奇数个0的二进制数串

12 确定化、最小化下图的(a)(b)

(a)

(b)

14

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$I$	$I_0$	$I_1$
0	∅	1
1	2	3
3	4	5
4	∅	6
5	2	3
6	7	3
7	8	10
8	9	11
9	9	3
10	12	10
11	13	5
12	∅	6
13	14	6
14	∅	15
15	16	∅
16	14	5

$I$	$I_0$	$I_1$
0	∅	1
1	2	3
3	4	5
4	∅	6
5	2	3
6	7	3
7	8	10
8	9	11
9	9	3
10	12	10
11	13	5
12	∅	6
13	14	6
14	∅	15
15	16	∅
16	14	5

$I$	$I_0$	$I_1$
0	∅	1
1	2	3
3	4	5
4	∅	6
5	2	3
6	7	3
7	8	10
8	9	11
9	9	3
10	12	10
11	13	5
12	∅	6
13	14	6
14	∅	15
15	16	∅
16	14	5