LeetCode 第11题：盛最多水的容器（Python3解法）

1：问题描述

来源：LeetCode

难度：中等

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问题详情：
给定一个长度为 n 的整数数组 height 。有 n 条垂线，第 i 条线的两个端点是 (i, 0) 和 (i, height[i]) 。

找出其中的两条线，使得它们与 x 轴共同构成的容器可以容纳最多的水。

返回容器可以储存的最大水量。

**说明：**你不能倾斜容器。

示例1：

输入：[1,8,6,2,5,4,8,3,7]
输出：49
解释：图中垂直线代表输入数组 [1,8,6,2,5,4,8,3,7]。在此情况下，容器能够容纳水（表示为蓝色部分）的最大值为 49。

示意图如下所示，图片来源：力扣。

示例2：

输入：height = [1,1]
输出：1

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2：问题分析

2.1 时间复杂度和空间复杂度

在真正开始介绍各种算法前，先以表格形式展示各自的时间复杂度和空间复杂度，其中$N$表示列表$height$的长度。

算法	时间复杂度	空间复杂度
双指针	$O(N)$	$O(1)$

2.2 双指针

2.2.1 流程

1. 首先初始化一个头指针和尾指针分别指向数组的最左边和最右边，并且赋值最大面积$max\_area=0$
2. 计算当前面积，计算面积的公式为：
   $$area=(tail-head)\times min(height[tail],height[head])$$
3. 更新当前的最大面积
   $$max\_area=max(max\_area,area)$$
4. 比较头尾指针指向的数值大小
5. 将较小者指针向中间移动
6. 重复上述步骤直至头尾指针指向同一位置
7. 输出最大面积

2.2.2 原理

为什么上述流程能够找到最优解呢？
接下来就证明这种方案的合理性。

首先假设头尾指针相距为 $t$,并且假设$height[head]<height[tail]$,则面积
$$area=t\times height[head]$$
假设移动最大者，那么$t_2=t-1<t$,因为高取决于两边的最短边，因此
因此新的高$h_{t_2}$必然是$\le height[head]$的，所以新的面积
$$are{a}_2=t_2\times h_{t_2}\le area$$.
所以可以看出，移动两者中的最长者必然会导致面积变小；同时也可以进一步想到，无论这个尾指针怎么往内部移动，都不会找到一个更大面积的情况。

也就是说以这个最左边为一边的除了当前$area$这个情况外的其它情况都不可能是最优解。

所以我们需要记录当前的面积，并移动最左边的指针。

也就是移动最长边必然会导致更小或者不变，移动最短边则有可能会变好。

通过不断的这样筛选的过程，我们其实仍然是遍历了所有可能，只不过那些被淘汰的是隐式地。

2.2.3 代码

def myAtoi(s: str) -> int:
    n = len(height)
    head = 0
    tail = n - 1

    # 分别对比左右指针指向的数，最大的一方指针保持不懂，另一方向中间移动
    max_area = 0
    while head != tail:
        if height[head] > height[tail]:
            area = (tail - head) * height[tail]
            tail -= 1
        else:
            area = (tail - head) * height[head]
            head += 1

        max_area = max(max_area, area)

    return max_area

对于时间复杂度，因为首尾指针合在一起指向了所有数组的数，所有时间复杂度为$O(N)$

空间复杂度，$O(1)$